Lección 3

Más sobre la constante de proporcionalidad

Usemos tablas para resolver más problemas que involucren relaciones proporcionales.

3.1: Medidas iguales

Usa los números y las unidades de la lista para encontrar tantas medidas equivalentes como puedas. Por ejemplo, podrías escribir: "30 minutos son \(\frac12\) hora". 

Puedes usar los números y las unidades más de una vez.

1

12

0.4

60

50

\(\frac12\)

40

0.01

\(3\frac{1}{3}\)

30

0.3

24

\(\frac{1}{10}\)

6

2

\(\frac{2}{5}\)

centímetro

metro

hora

pie

minuto

pulgada

 

3.2: Centímetros y milímetros

Existe una relación proporcional entre cualquier longitud medida en centímetros y la misma longitud medida en milímetros.

Hay dos maneras de pensar en esta relación proporcional.

  1. Si se conoce la longitud de algo en centímetros, se puede calcular su longitud en milímetros. 

    1. Completa la tabla.
    2. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
    longitud (cm) longitud (mm)
    9  
    12.5  
    50  
    88.49  
  2. Si se conoce la longitud de algo en milímetros, se puede calcular su longitud en centímetros.

    1. Completa la tabla.
    2. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
    longitud (mm) longitud (cm)
    70  
    245  
    4  
    699.1  
  3. ¿Cómo se relacionan estas dos constantes de proporcionalidad entre sí?
  4. Completa cada oración:

    1. Para convertir de centímetros a milímetros, se puede multiplicar por ________.
    2. Para convertir de milímetros a centímetros, se puede dividir entre ________ o multiplicar por ________.


  1. ¿Cuántos milímetros cuadrados hay en un centímetro cuadrado?
  2. ¿Cómo se convierten centímetros cuadrados a milímetros cuadrados? ¿Cómo se hace la conversión en el sentido contrario?

3.3: De Pittsburgh a Phoenix

Un avión, viajando a una rapidez constante, voló sobre Pittsburgh, San Luis, Albuquerque y Phoenix en su camino de Nueva York a San Diego.

Completa la tabla mientras respondes las preguntas. Prepárate para explicar tu razonamiento.

A United States map with 5 segments representing the distance a plane flew.
segmento tiempo distancia rapidez
Pittsburgh a San Luis 1 hora 550 millas  
San Luis a Albuquerque 1 hora 42 minutos    
Albuquerque a Phoenix   330 millas  
  1. ¿Cuál es la distancia entre San Luis y Albuquerque?

  2. ¿Cuántos minutos tomó volar entre Albuquerque y Phoenix?

  3. ¿Cuál es la relación proporcional representada con esta tabla?
  4. Diego dice que la constante de proporcionalidad es 550. Andre dice que la constante de proporcionalidad es \(9 \frac16\). ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica tu razonamiento.

Resumen

Cuando algo está viajando a una rapidez constante, existe una relación proporcional entre el tiempo que tarda y la distancia que recorre. La tabla muestra la distancia recorrida y el tiempo transcurrido para un insecto que trepa por una acera.

Podemos multiplicar cualquier número en la primera columna por \(\frac23\) para obtener el número correspondiente en la segunda columna. Podemos decir que el tiempo transcurrido es proporcional a la distancia recorrida y que la constante de proporcionalidad es \(\frac23\). Esto significa que el ritmo del insecto es \(\frac23\) segundos por centímetro.

Esta tabla representa la misma situación, excepto que se intercambiaron las columnas.

Podemos multiplicar cualquier número en la primera columna por \(\frac32\) para obtener el número correspondiente en la segunda columna. Podemos decir que la distancia recorrida es proporcional al tiempo transcurrido y que la constante de proporcionalidad es \(\frac32\). Esto significa que la rapidez del insecto es \(\frac32\) centímetros por segundo.

Observa que \(\frac32\) es el recíproco de \(\frac23\). Cuando dos cantidades están en una relación proporcional, hay dos constantes de proporcionalidad y estas siempre son recíprocas entre ellas. Cuando representamos una relación proporcional con una tabla, decimos que la cantidad en la segunda columna es proporcional a la cantidad en la primera columna y que la constante de proporcionalidad correspondiente es el número por el que multiplicamos los valores en la primera columna para obtener los valores en la segunda.

Entradas del glosario

  • constante de proporcionalidad

    En una relación proporcional, los valores de una cantidad se multiplican todos por un mismo número para obtener los valores de la otra cantidad. Ese número se llama la constante de proporcionalidad.

    En este ejemplo, la constante de proporcionalidad es 3, pues \(2 \boldcdot 3 = 6\), \(3 \boldcdot 3 = 9\) y \(5 \boldcdot 3 = 15\). Esto significa que, en la ensalada de frutas, hay 3 manzanas por cada 1 naranja.

    número de naranjas número de manzanas
    2 6
    3 9
    5 15

     

  • razones equivalentes

    Dos razones son equivalentes si puedes multiplicar cada uno de los números de la primera razón por el mismo factor y obtener los números de la segunda razón. Por ejemplo, \(8:6\) es equivalente a \(4:3\) porque \(8\boldcdot\frac12 = 4\) y \(6\boldcdot\frac12 = 3\).

    Una receta de limonada indica que se deben usar 8 tazas de agua y 6 limones. Si usamos 4 tazas de agua y 3 limones, vamos a producir la mitad de la cantidad de limonada. Ambas recetas saben igual, porque \(8:6\) y \(4:3\) son razones equivalentes.

    tazas de agua número de limones
    8 6
    4 3
  • relación proporcional

    En una relación proporcional, todos los valores de una cantidad se pueden multiplicar, cada uno por el mismo número, para obtener los valores de la otra cantidad.

    Por ejemplo, en esta tabla, cada valor de \(p\) es igual a 4 veces el valor de \(s\) en la misma fila.

    Podemos escribir esta relación como \(p=4s\). Esta ecuación muestra que \(p\) es proporcional a \(s\).

    \(s\) \(p\)
    2 8
    3 12
    5 20
    10 40