Lección 8

Comparemos relaciones con ecuaciones

Desarrollemos métodos para decidir si una relación es proporcional. 

8.1: Observa y pregúntate: patrones con rectángulos

Three rectangles on a coordinate grid. The rectangles are 3 units long by 1 unit wide, 6 units long by 2 units wide and 9 units long by 3 units wide.

¿Ves algún patrón? ¿Qué predicciones puedes hacer sobre los siguientes rectángulos de esta colección si tu patrón continúa?

8.2: Más conversiones

El otro día trabajaste en la conversión de metros, centímetros y milímetros. Estas son otras conversiones de unidades. 

  1. Usa la ecuación \(F =\frac95 C + 32\), donde \(F\) representa grados Fahrenheit y \(C\) representa grados Celsius, para completar la tabla.
    temperatura \((^\circ\text{C})\) temperatura \((^\circ\text{F})\)
    20  
    4  
    175  
  2. Usa la ecuación \(c = 2.54n\), donde \(c\) representa la longitud en centímetros y \(n\) representa la longitud en pulgadas, para completar la tabla.
    longitud (in) longitud (cm)
    10  
    8  
    3\(\frac12\)  
  3. ¿Estas son relaciones proporcionales? Explica por qué sí o por qué no.

8.3: Longitud de lado total, área de superficie y volumen

Estos son algunos cubos con diferentes longitudes de lado. Completa cada tabla. Prepárate para explicar tu razonamiento.

Three cubes of different sizes: first cube has side length 3, second cube side length 5, and thrid cube has side length 9 and 1/2

  1. ¿Cuál es la longitud total de las aristas de cada cubo?

    longitud
    de lado    		 longitud
    total de las aristas
    3  
    5  
    \(9\frac12\)  
    \(s\)  

  2. ¿Cuál es el área de superficie de cada cubo?

    longitud
    de lado    		 área de
    superficie
    3  
    5  
    \(9\frac12\)  
    \(s\)  

  3. ¿Cuál es el volumen de cada cubo?

    longitud
    de lado    		 volumen
    3  
    5  
    \(9\frac12\)  
    \(s\)  

  4. ¿Cuáles de estas relaciones son proporcionales? Explica cómo lo sabes.

  5. Escribe ecuaciones para la longitud total de las aristas \(E\), el área de superficie total \(A\) y el volumen \(V\) de un cubo con longitud de lado \(s\).



  1. Un sólido rectangular tiene una base cuadrada cuya longitud de lado es \(\ell\), su altura es 8 y su volumen \(V\). ¿La relación entre \(\ell\) y \(V\) es una relación proporcional?
  2. Un sólido rectangular diferente tiene longitud \(\ell\), ancho 10, altura 5 y volumen \(V\). ¿La relación entre \(\ell\) y \(V\) es una relación proporcional?
  3. ¿Por qué la relación entre la longitud de lado y el volumen es proporcional en una de las situaciones y en la otra no?

8.4: Todo tipo de ecuaciones

Estas son seis ecuaciones diferentes.

\(y = 4 + x\)

\(y = \frac{x}{4}\)

\(y = 4x\)

\(y = 4^{x}\)

\(y = \frac{4}{x}\)

\(y = x^{4}\)

Six identical tables, each with 3 columns and 4 rows of data. 
  1. Predice cuáles de estas ecuaciones representan una relación proporcional. 
  2. Completa cada tabla usando la ecuación que representa la relación.
  3. ¿Estos resultados cambian tu respuesta a la primera pregunta? Explica tu razonamiento.
  4. ¿Qué tienen en común las ecuaciones de las relaciones proporcionales?

Resumen

Si dos cantidades están en una relación proporcional, entonces su cociente siempre es el mismo. Esta tabla representa diferentes valores de \(a\) y \(b\), dos cantidades que están en una relación proporcional. 

\(a\) \(b\) \(\frac{b}{a}\)
20 100 5
3 15 5
11 55 5
1 5 5

Observa que el cociente de \(b\) y \(a\) siempre es 5. Para escribir esto como una ecuación, podríamos decir \(\frac{b}{a}=5\). Si esto es verdad, entonces \(b=5a\) (esto no funciona si \(a=0\), pero en los demás casos sí funciona).

Si la cantidad \(y\) es proporcional a la cantidad \(x\), siempre veremos este patrón: \(\frac{y}{x}\) siempre tendrá el mismo valor. Este valor es la constante de proporcionalidad, que a menudo llamamos \(k\). Podemos representar esta relación con la ecuación \(\frac{y}{x} = k\) (siempre y cuando \(x\) no sea 0) o \(y=kx\).

Observa que si una ecuación no se puede escribir de esta manera, entonces no representa una relación proporcional.