Lección 4

¿Cuál es el valor de la expresión?

\(\displaystyle \frac{2^5\boldcdot 3^4 \boldcdot 3^2}{2 \boldcdot 3^6 \boldcdot 2^4}\)

1. 1. Completa la tabla para explorar patrones en los exponentes al dividir potencias de 10. Usa la columna "expresión desarrollada" para mostrar por qué la expresión dada es igual a usar una sola potencia de 10. Puedes omitir un solo elemento en la tabla, pero si lo haces, prepárate para explicar por qué lo hiciste.

      expresión	expresión desarrollada	como una sola potencia
      \(10^4 \div 10^2\)	\(\frac{10 \boldcdot 10 \boldcdot 10 \boldcdot 10}{10 \boldcdot 10} = \frac{10 \boldcdot 10}{10 \boldcdot 10} \boldcdot 10 \boldcdot 10 = 1 \boldcdot 10 \boldcdot 10\)	\(10^2\)
      	\(\frac{10 \boldcdot 10 \boldcdot 10 \boldcdot 10 \boldcdot 10}{10 \boldcdot 10} = \frac{10 \boldcdot 10}{10 \boldcdot 10}  \boldcdot 10 \boldcdot 10 \boldcdot 10 = 1  \boldcdot 10 \boldcdot 10 \boldcdot 10\)
      \(10^6 \div 10^3\)
      \(10^{43} \div 10^{17}\)

   2. Si elegiste omitir un elemento en la tabla, ¿cuál fue ese elemento?, ¿por qué ese elemento?
2. Usa los patrones que encontraste en la tabla para escribir \(\frac{10^n}{10^m}\) como una expresión equivalente de la forma \(10^{\boxed{\phantom{3}}}\).
3. Para el año 2050, se predice que habrá \(10^{10}\) personas viviendo en la Tierra. También se predice que habrá aproximadamente \(10^{12}\) árboles. ¿Cuántos árboles habrá por cada persona?

Hasta ahora, hemos considerado potencias de 10 usando exponentes mayores que 0. ¿Qué pasaría con nuestras reglas si consideramos al 0 como un posible exponente?

1. 1. Escribe \(10^{12} \boldcdot 10^0\) como una potencia de 10 usando un solo exponente y la regla de exponentes correcta. Explica o muestra su razonamiento.

   2. ¿Cuál número se podría multiplicar por \(10^{12}\) para obtener la misma respuesta?

2. 1. Escribe \(\frac{10^8}{10^0}\) usando un solo exponente y la regla de exponentes adecuada. Explica o muestra tu razonamiento.

   2. ¿Qué número podría dividir a \(10^{8}\) para obtener ese mismo resultado?
3. Si queremos que las reglas de exponentes funcionen incluso cuando el exponente es cero, entonces ¿cuál debe ser el valor de \(10^0\)?
4. Noah dice: "Si se desarrolla \(10^0\) en factores, esto significa tener cero factores que son 10, por lo que esto debe ser igual a 0". ¿Estás de acuerdo? Discute esto con tu compañero.

Escribe tantas expresiones como puedas que tengan el mismo valor que \(10^6\). Enfócate en usar exponentes, multiplicación y división. ¿Qué patrones observas en los exponentes?

En una lección anterior, aprendimos que al multiplicar potencias de 10, los exponentes se suman. Por ejemplo, \(10^6 \boldcdot 10^3 = 10^9\), pues al multiplicar 6 factores que son 10 por 3 factores que son 10 se obtienen 9 factores que son 10. Además, podemos pensar en esta expresión de multiplicación como una división: \(\displaystyle 10^6 = \frac{10^9}{10^3} \) Entonces, cuando dividimos potencias de 10, el exponente en el denominador se resta del exponente en el numerador. Esto tiene sentido, ya que \(\displaystyle \frac{10^9}{10^3} = \frac{10^3 \boldcdot 10^6}{10^3} = \frac{10^3}{10^3} \boldcdot 10^6 = 1 \boldcdot 10^6 = 10^6\) Esta regla también funciona para otras potencias de 10. Por ejemplo, \(\frac{10^{56}}{10^{23}} = 10^{33}\), porque 23 factores que son 10 en el numerador y en el denominador se usan para obtener 1 y nos quedan 33 factores de 10.

Esto genera un nueva regla de exponentes: \(\displaystyle \frac{10^n}{10^m} = 10^{n-m}.\)Hasta ahora, esto solo tiene sentido cuando \(n\) y \(m\) son enteros positivos y \(n > m\), pero extenderemos esta regla para incluir un nuevo exponente, \(10^0\). Si consideramos \(\frac{10^6}{10^0}\), usando la regla de exponentes se obtiene \(10^{6-0}\), que es igual a \(10^6\). Al dividir \(10^6\) entre \(10^0\) no cambia su valor. Esto significa que si queremos que la regla funcione cuando el exponente es 0, entonces debe cumplirse que: \(\displaystyle 10^0=1\)