Lección 5

Resuelve mentalmente cada ecuación. 

\(\frac{100}{1} = 10^x\)

\(\frac{100}{x} = 10^1\)

\(\frac{x}{100} = 10^0\)

\(\frac{100}{1,\!000} = 10^{x}\)

Completa la tabla para explorar qué significan los exponentes negativos.

1. Cuando te mueves hacia la izquierda, cada número se multiplica por 10. ¿Cuál es el multiplicador cuando te mueves hacia la derecha?
2. ¿Cómo influye un multiplicador de 10 en la ubicación del decimal en el producto?  ¿Cómo influye el otro multiplicador en la ubicación del decimal en el producto?  
3. Usa los patrones que encontraste en la tabla para escribir \(10^{\text -7}\) como una fracción.
4. Usa los patrones que encontraste en la tabla para escribir \(10^{\text -5}\) como un decimal.
5. Escribe \(\frac{1}{100,000,000}\) usando un solo exponente.
6. Usa los patrones que encontraste en la tabla para escribir \(10^{\text -n}\) como una fracción.

1. 1. Emparejen cada expresión exponencial con una expresión equivalente de multiplicación.

      \(\left(10^2\right)^3\)	\(\frac{1}{(10 \boldcdot 10)} \boldcdot \frac{1}{(10 \boldcdot 10)} \boldcdot \frac{1}{(10 \boldcdot 10)}\)
      \(\left(10^2\right)^{\text -3}\)	\(\left(\frac{1}{10} \boldcdot \frac{1}{10}\right)\left(\frac{1}{10} \boldcdot \frac{1}{10}\right)\left(\frac{1}{10} \boldcdot \frac{1}{10}\right)\)
      \(\left(10^{\text -2}\right)^3\)	\(\frac{1}{ \frac{1}{10} \boldcdot \frac{1}{10} }\boldcdot \frac{1}{ \frac{1}{10} \boldcdot \frac{1}{10} } \boldcdot \frac{1}{ \frac{1}{10} \boldcdot \frac{1}{10} }\)
      \(\left(10^{\text -2}\right)^{\text-3}\)	\((10 \boldcdot 10)(10 \boldcdot 10)(10 \boldcdot 10)\)

   2. Escriban \((10^2)^{\text-3}\) como una potencia de 10 usando un solo exponente. Prepárense para explicar su razonamiento.

2. 1. Emparejen cada expresión exponencial con una expresión equivalente de multiplicación.

      \(\frac{10^2}{10^5}\)	\(\frac{ \frac{1}{10} \boldcdot \frac{1}{10} }{ \frac{1}{10} \boldcdot \frac{1}{10} \boldcdot \frac{1}{10}\boldcdot \frac{1}{10}\boldcdot \frac{1}{10} }\)
      \(\frac{10^2}{10^{\text -5}}\)	\(\frac{10 \boldcdot 10}{10 \boldcdot 10 \boldcdot 10 \boldcdot 10 \boldcdot 10}\)
      \(\frac{10^{\text -2}}{10^5}\)	\(\frac{ \frac{1}{10} \boldcdot \frac{1}{10} }{ 10 \boldcdot 10\boldcdot 10\boldcdot 10\boldcdot 10 }\)
      \(\frac{10^{\text -2}}{10^{\text -5}}\)	\(\frac{ 10 \boldcdot 10 }{ \frac{1}{10} \boldcdot \frac{1}{10} \boldcdot \frac{1}{10}\boldcdot \frac{1}{10}\boldcdot \frac{1}{10}}\)

   2. Escriban \(\frac{10^{\text -2}}{10^{\text -5}}\) como una potencia de 10 usando un solo exponente. Prepárense para explicar su razonamiento.

3. 1. Emparejen cada expresión exponencial con una expresión equivalente de multiplicación.

      \(10^4 \boldcdot 10^3\)	\((10 \boldcdot 10 \boldcdot 10 \boldcdot 10) \boldcdot ( \frac{1}{10} \boldcdot  \frac{1}{10}\boldcdot  \frac{1}{10})\)
      \(10^4 \boldcdot 10^{\text -3}\)	\(\left(\frac{1}{10} \boldcdot \frac{1}{10} \boldcdot \frac{1}{10} \boldcdot \frac{1}{10}\right) \boldcdot \left( \frac{1}{10} \boldcdot  \frac{1}{10} \boldcdot  \frac{1}{10}\right)\)
      \(10^{\text -4} \boldcdot 10^3\)	\(\left(\frac{1}{10}\boldcdot \frac{1}{10} \boldcdot \frac{1}{10} \boldcdot \frac{1}{10}\right) \boldcdot \left(10 \boldcdot 10 \boldcdot 10\right)\)
      \(10^{\text -4} \boldcdot 10^{\text -3}\)	\((10 \boldcdot 10 \boldcdot 10 \boldcdot 10) \boldcdot (10 \boldcdot 10 \boldcdot 10)\)

   2. Escriban \(10^{\text -4} \boldcdot 10^3\) como una potencia de 10 usando un solo exponente. Prepárense para explicar su razonamiento.

Cuando multiplicamos una potencia positiva de 10 por \(\frac{1}{10}\), el exponente disminuye en 1: \(\displaystyle 10^8 \boldcdot \frac{1}{10} = 10^7\)Esto es verdadero para cualquier potencia de 10. Podemos usar el mismo razonamiento para ver que multiplicar por 2 factores que son \(\frac{1}{10}\) hace que el exponente disminuya en 2: \(\displaystyle \left(\frac{1}{10}\right)^2 \boldcdot 10^8 = 10^6\)

Esto significa que podemos extender las reglas para usar exponentes negativos, por ejemplo, \(10^{\text-2} = \left(\frac{1}{10}\right)^2\). Así como \(10^2\) son dos factores que son 10, tenemos que \(10^{\text-2}\) son dos factores que son \(\frac{1}{10}\). En general, las reglas de exponentes que hemos desarrollado son verdaderas para cualquier entero \(n\) y \(m\), es decir, \(\displaystyle 10^{\text-n} = \left(\frac{1}{10}\right)^n = \frac{1}{10^n}\)

Este es un ejemplo que muestra cómo extendemos la regla \(\frac{10^n}{10^m} = 10^{n-m}\) para usar exponentes negativos: \(\displaystyle \frac{10^3}{10^5} = 10^{3-5} = 10^{\text-2}\) Para ver por qué, observa que \(\displaystyle \frac{10^3}{10^5} = \frac{10^3}{10^3 \boldcdot 10^2} = \frac{10^3}{10^3} \boldcdot \frac{1}{10^2} =  \frac{1}{10^2}\)que es igual a \(10^{\text-2}\).

Este es un ejemplo que muestra cómo extendemos la regla \(\left(10^m\right)^n = 10^{m \boldcdot n}\) para usar exponentes negativos: \(\displaystyle \left(10^{\text-2}\right)^{3} = 10^{(\text-2)(3)}=10^{\text-6}\)Para ver por qué, observa que: \(10^{\text-2} = \frac{1}{10} \boldcdot \frac{1}{10}\). Esto significa que: \(\displaystyle \left(10^{\text-2}\right)^{3} =\left( \frac{1}{10} \boldcdot \frac{1}{10}\right)^3 = \left(\frac{1}{10} \boldcdot \frac{1}{10}\right) \boldcdot \left( \frac{1}{10} \boldcdot \frac{1}{10}\right)\boldcdot \left(\frac{1}{10}\boldcdot \frac{1}{10}\right) = \frac{1}{10^6} = 10^{\text-6}\)