Lección 8

1. Calcula \(5^3 \boldcdot 2^3\)
2. Calcula \(10^3\)

1. La tabla muestra productos de expresiones con distintas bases y el mismo exponente. Completen la tabla para ver cómo podemos reescribirlas. Usen la columna "expresión desarrollada" para trabajar en cómo combinar los factores y obtener una nueva base.

   expresión	expresión desarrollada	exponente
   \(5^3 \boldcdot 2^3\)	\(\begin{align}(5 \boldcdot 5 \boldcdot 5) \boldcdot (2 \boldcdot 2 \boldcdot 2) &= (2 \boldcdot 5)(2 \boldcdot 5)(2 \boldcdot 5)\\ &= 10 \boldcdot 10 \boldcdot 10 \end{align}\)	\(10^3\)
   \(3^2 \boldcdot 7^2\)		\(21^2\)
   \(2^4 \boldcdot 3^4\)
   		\(15^3\)
   		\(30^4\)
   \(2^4 \boldcdot x^4\)
   \(a^n \boldcdot b^n\)
   \(7^4 \boldcdot 2^4 \boldcdot 5^4\)

2. ¿Pueden escribir \(2^3 \boldcdot 3^4\) usando un solo exponente? ¿Qué sucede si los exponentes no son iguales ni las bases tampoco? Expliquen o muestren su razonamiento.

El profesor le dará a tu grupo herramientas para crear una representación visual con el fin de practicar un juego. Dividan la representación en 3 columnas con estos encabezados: 

Cómo jugar:

Cuando el tiempo comience, tu grupo debe escribir tantas expresiones como puedan, que sean equivalentes a un número específico, usando una de las reglas de exponentes que aparecen en el tablero. Cuando se acabe el tiempo, comparen sus expresiones con las de otro grupo para ver cuántos puntos ganan.

• Tu grupo obtiene 1 punto por cada expresión distinta que escriban, que sea equivalente al número y que use la regla de exponentes elegida de manera correcta.
• Si una expresión tiene exponentes negativos, tu grupo obtiene 2 puntos en lugar de solo 1.
• Pueden retar las expresiones del otro grupo si piensan que realmente no son iguales al número dado, o si no siguen una de las tres reglas de exponentes. 

En lecciones anteriores, propusimos reglas para multiplicar y dividir expresiones con exponentes, que solo funcionan cuando las expresiones tienen la misma base. Por ejemplo, \(\displaystyle 10^3 \boldcdot 10^2 = 10^5\) o \(\displaystyle 2^6 \div 2^2 = 2^4\) 

En esta lección, estudiamos cómo combinar expresiones con el mismo exponente, pero con distintas bases. Por ejemplo, podemos escribir \(2^3 \boldcdot 5^3\) como \(2 \boldcdot 2 \boldcdot 2 \boldcdot 5 \boldcdot 5 \boldcdot 5\). Esto se agrupa nuevamente como \((2 \boldcdot 5) \boldcdot (2 \boldcdot 5) \boldcdot (2 \boldcdot 5)\), y muestra que

\(\displaystyle \begin{align}2^3 \boldcdot 5^3 &= (2 \boldcdot 5)^3\\ & = 10^3 \end{align}\)

En el ejemplo anterior, podemos observar que el 2 y el 5 podrían remplazarse por diferentes números o incluso variables. Por ejemplo, si \(a\) y \(b\) son variables entonces \(a^3 \boldcdot b^3 = (a \boldcdot b)^3\). Más en general, dado un número positivo \(n\), \(\displaystyle a^n \boldcdot b^n = (a \boldcdot b)^n\) ya que en ambos lados hay exactamente \(n\) factores que son \(a\) y \(n\) factores que son \(b\).