Lección 7

¿Que observas? ¿Qué te preguntas?

Las dos figuras que se muestran a continuación son cuadrados con una longitud de lado de \(a + b\). Observa que la primera figura se divide en dos cuadrados y dos rectángulos. La segunda figura está dividida en un cuadrado y cuatro triángulos rectángulos con catetos de longitud \(a\) y \(b\). Llamemos a la hipotenusa de estos triángulos \(c\).

1. ¿Cuál es el área total de cada figura?
2. Encuentra el área de cada una de las 9 regiones más pequeñas que se muestran en las figuras y márcalas sobre el dibujo.
3. Suma el área de las cuatro regiones de la figura F y suma el área de las cinco regiones de la figura G. Plantea una ecuación igualando estas dos expresiones. Si reescribes esta ecuación usando la menor cantidad de términos posible, ¿qué obtienes?

Encuentra las longitudes de lado desconocidas de estos triángulos rectángulos.

El profesor dará a tu grupo una hoja con 4 figuras y un grupo de 5 figuras recortadas y marcadas como D, E, F, G y H.

1. Organiza las 5 figuras recortadas para que quepan dentro de la figura 1. Verifica que las piezas también encajen en los dos cuadrados más pequeños de la figura 4.

2. Explica cómo puedes transformar las piezas organizadas en la figura 1 para hacer una copia exacta de la figura 2.

3. Explica cómo puedes transformar las piezas organizadas en la figura 2 para hacer una copia exacta de la figura 3.

4. Verifica que la figura 3 sea congruente con el cuadrado grande de la figura 4.

5. Si el triángulo rectángulo en la figura 4 tiene catetos \(a\) y \(b\) e hipotenusa \(c\), ¿qué acabas de demostrar que es verdadero?

Las figuras que se muestran a continuación se pueden usar para ver por qué el teorema de Pitágoras es verdadero. Ambos cuadrados grandes tienen la misma área, pero se dividen de diferentes maneras. (¿Puedes ver dónde están ubicados los triángulos del Cuadrado G en el Cuadrado F? ¿Qué quiere decir eso con respecto a los cuadrados que están adentro de F y G?). Cuando se establece que la suma de las cuatro áreas que se encuentran en el Cuadrado F es igual a la suma de las 5 áreas que se encuentran en el Cuadrado G, el resultado es que \(a^2 + b^2 = c^2\), donde \(c\) es la hipotenusa de los triángulos en el Cuadrado G y también la longitud del lado del cuadrado que se encuentra en el centro. ¡Inténtalo!

Esto es cierto para cualquier triángulo rectángulo. Si los catetos son \(a\) y \(b\) y la hipotenusa es \(c\), entonces \(a^2+b^2=c^2\). Esta propiedad se puede utilizar en cualquier oportunidad en la podamos hacer un triángulo rectángulo. Por ejemplo, para encontrar la longitud de este segmento de recta:

La cuadrícula se puede usar para hacer un triángulo rectángulo, donde el segmento de recta es la hipotenusa y los catetos miden 24 unidades y 7 unidades:  

Dado que este es un triángulo rectángulo, \(24^2+7^2=c^2\). La solución a esta ecuación (y la longitud del segmento de recta) es \(c=25\).