Lección 6

¿Cuál triángulo es diferente?

 

1. Completa la tablas para estos tres triángulos:

   

   

   triángulo	\(a\)	\(b\)	\(c\)
   D
   E
   F

   triángulo	\(a^2\)	\(b^2\)	\(c^2\)
   D
   E
   F

2. ¿Qué observas sobre los valores de la tabla para el triángulo E que no observas para los triángulos D y F?
3. Completa las tablas para estos tres triángulos más:
   

   

   

   triángulo	\(a\)	\(b\)	\(c\)
   P
   Q
   R

   triángulo	\(a^2\)	\(b^2\)	\(c^2\)
   P
   Q
   R

4. ¿Qué observas acerca de los valores de la tabla para el triángulo Q que no observas para los triángulos P y R?
5. ¿Qué tienen en común el triángulo E y el triángulo Q?

1. Encuentren las longitudes de los lados que faltan. Prepárense para explicar su razonamiento. 
2. ¿Para cuáles triángulos \(a^2+b^2=c^2\)?

 

 

Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto. En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. Estos son algunos triángulos rectángulos que tienen marcados la hipotenusa y los catetos: 

A menudo usamos las letras \(a\) y \(b\) para representar las longitudes de los lados más cortos de un triángulo y \(c\) para representar la longitud del lado más largo de un triángulo rectángulo. Si el triángulo es un triángulo rectángulo, entonces \(a\) y \(b\) se usan para representar las longitudes de los catetos y \(c\) se usa para representar la longitud de la hipotenusa (porque la hipotenusa es siempre el lado más largo de un triángulo rectángulo). Por ejemplo, en este triángulo rectángulo, \(a=\sqrt{20}\), \(b=\sqrt5\) y \(c=5\).

Estos son algunos triángulos rectángulos: 

Observa que en estos ejemplos de triángulos rectángulos, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. En el primer triángulo rectángulo del diagrama, \(9+16=25\), en el segundo, \(1+16=17\), y en el tercero, \(9+9=18\). Expresado de otra manera, tenemos \(\displaystyle a^2+b^2=c^2\) Esta es una propiedad de todos los triángulos rectángulos, no solo de estos ejemplos, y a menudo se conoce como el teorema de Pitágoras. El nombre proviene de un matemático llamado Pitágoras que vivió en la antigua Grecia hace aproximadamente 2,500 años, es decir en el siglo V a. C., pero esta propiedad de los triángulos rectángulos también fue descubierta de manera independiente por matemáticos en otras culturas antiguas como Babilonia, India y China. En China, un nombre para la misma relación es el teorema de Shang Gao. En lecciones futuras, los estudiantes aprenderán algunas maneras de explicar por qué el teorema de Pitágoras es verdadero para cualquier triángulo rectángulo.

Es importante tener en cuenta que esta relación no es válida para todos los triángulos. Estos son algunos triángulos que no son triángulos rectángulos, observa que las longitudes de sus lados no tienen la relación especial \(a^2+b^2=c^2\). Es decir, \(16+10\) no es igual a 18 y \(2+10\) no es igual a 16.