Lección 2

Longitudes de lado y áreas

Investiguemos algunos cuadrados más.

2.1: Observa y pregúntate: círculos que se intersecan

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

Blue and yellow circles that overlap. Triangle ACB drawn in overlap. AC is yellow, cb is green, ba is blue. 

 

2.2: Un cuadrado

  1. Utiliza el círculo para estimar el área del cuadrado que se muestra a continuación:

    A coordinate plane with the origin labeled “O.” x-axis, scale -6 to 6 , by 1's. y-axis,-6 through 7, by 1's. Circle and square graphed.

  2. Utiliza la cuadrícula para verificar tu respuesta al primer problema.

    A coordinate grid with the origin labeled “O.” x-axis, scale -6 to 6 , by 1's. y-axis,-6 through 7, by 1's. Circle and square graphed.


Un vértice del triángulo equilátero está en el centro del cuadrado y un vértice del cuadrado está en el centro del triángulo equilátero. ¿Cuánto vale \(x\)?

Equilateral triangle slanted right, overlapping top left corner of square. Angle from bottom side of triangle to left side of square labeled x degrees.

2.3: Los lados y las áreas de cuadrados inclinados

  1. Encuentra el área de cada cuadrado y estima las longitudes de lado usando tu caja de herramientas de geometría. Luego escribe las longitudes exactas de los lados de cada cuadrado.

    3 squares labeled A, B, C. Square A, side length = square root of 29. Square B, side length = 18. Square C, side length = square root of 13.
  2. Completa las tablas con las longitudes de lado y las áreas que faltan.
    longitud de lado, \(s\) 0.5   1.5   2.5   3.5  
    área, \(a\)    1     4     9    16
    longitud de lado, \(s\) 4.5   5.5   6.5   7.5  
    área, \(a\)   25   36   49   64

  3. Ubica los puntos, \((s, a)\), en el plano de coordenadas que se muestra a continuación.

  4. Utiliza esta gráfica para estimar las longitudes de lado de los cuadrados de la primera pregunta. ¿Qué tan lejanas o cercanas fueron las estimaciones que realizaste usando la gráfica y las estimaciones que realizaste inicialmente con la caja de herramientas de geometría?
  5. Utiliza la gráfica para aproximar \(\sqrt{45}\).

Resumen

Vimos antes que el área del cuadrado ABCD es 73 unidades2.

Tilted square ABCD with side lengths of square root of 73 units 

¿Cuál es la longitud de lado? El área está entre \(8^2 = 64\) y \(9^2 = 81\), por lo que la longitud de lado debe estar entre 8 unidades y 9 unidades. También podemos usar papel de calcar para trazar la longitud de lado y compararla con la cuadrícula, lo que también muestra que la longitud de lado esta entre 8 y 9 unidades. Pero, nos queremos poder referir a la longitud exacta. Para escribir "la longitud de lado de un cuadrado cuya área es de 73 unidades cuadradas", usamos el símbolo de la raíz cuadrada. "La raíz cuadrada de 73" se escribe \(\sqrt{73}\) y significa "la longitud de lado de un cuadrado cuya área es de 73 unidades cuadradas".

Decimos que la longitud de lado de un cuadrado con un área de 73 unidades2 es de \(\sqrt{73}\) unidades. Esto significa que:

\(\displaystyle \left( \sqrt{73}\right)^2 = 73\)

Todas las siguientes afirmaciones también son verdaderas:

\(\sqrt{9}=3\) porque \(3^2=9\)

\(\sqrt{16}=4\) porque \(4^2=16\)

\(\sqrt{10}\) unidades es la longitud de lado de un cuadrado cuya área es 10 unidades2 y \(\left(\sqrt{10}\right)^2=10\)

There are 3 squares on a square grid, arranged in order of area, from smallest, on the left, to largest, on the right.

Entradas del glosario

  • raíz cuadrada

    La raíz cuadrada de un número positivo \(n\) es el número positivo que al ser elevado al cuadrado da \(n\). También es la longitud de lado de un cuadrado de área \(n\). Escribimos la raíz cuadrada de \(n\) como \(\sqrt{n}\).

    Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16, que se escribe como \(\sqrt{16}\), es 4 pues \(4^2\) es 16. 

    \(\sqrt{16}\) también es la longitud de lado de un cuadrado que tiene un área de 16.