Lección 14

Representaciones decimales de números racionales

Aprendamos más sobre cómo se pueden representar los números racionales.

14.1: Observa y pregúntate: barras sombreadas

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

four rectangular bars of equal length, aligned vertically.

 

14.2: Partamos la longitud por la mitad

Esta es una recta numérica que va desde 0 hasta 1.

A number line with two tick marks, one on either end of the number line. The first tick mark is labeled "0" and the second tick mark is labeled "1."
  1. Marca el punto medio entre 0 y 1. ¿Cuál es la representación decimal de ese número?
  2. Marca el punto medio entre 0 y el último punto que marcaste. ¿Cuál es la representación decimal de ese número?
  3. Repite el paso dos. ¿Cómo hallaste el valor de este número?
  4. Describe cómo cambia el valor de los puntos medios que has agregado a la recta numérica a medida que hallas más. ¿Cómo cambian las representaciones decimales? 

14.3: Recalculemos números racionales

  1. Los números racionales son fracciones y sus opuestos. Todos estos números son números racionales. Muestra que son números racionales escribiéndolos en la forma \(\frac{a}{b}\) o \(\text -\frac{a}{b}\).

    1. 0.2
    2. \(\text -\sqrt{4}\)
    3. 0.333
    4. \(\sqrt[3]{1000}\)
    5. -1.000001
    6. \(\sqrt{\frac19}\)
  2. Todos los números racionales también tienen representaciones decimales. Halla la representación decimal de cada uno de estos números racionales.

    1. \(\frac38\)
    2. \(\frac75\)
    3. \(\frac{999}{1000}\)
    4. \(\frac{111}{2}\)
    5. \(\sqrt[3]{\frac18}\)

14.4: Acerquémonos a $\frac{2}{11}$

A zooming number line cosisting of 4 number lines, aligned vertically, each with 11 evenly spaced tick marks.

 

  1. Etiqueta las marcas de la recta numérica que está más arriba. Después, halla la primera cifra decimal de \(\frac{2}{11}\) utilizando división larga y estima dónde se debe ubicar \(\frac{2}{11}\) sobre la primera recta numérica.

  2. Etiqueta las marcas de la segunda recta numérica. Halla la siguiente cifra decimal de \(\frac{2}{11}\) continuando con la división larga y estima dónde se debe ubicar \(\frac{2}{11}\) sobre la segunda recta numérica. Agrega flechas desde la segunda hasta la tercera recta numérica para hacer un acercamiento a la ubicación de \(\frac{2}{11}\).

  3. Repite el paso anterior para las rectas numéricas restantes.

  4. ¿Cuál crees que es la expansión decimal de \(\frac{2}{11}\)?


Llamemos \(x=\frac{25}{11}=2.272727 … \) y \(y=\frac{58}{33}=1.75757575 …\)

Para cada una de las siguientes preguntas, primero decide si es más útil la representación en forma de fracción o la representación decimal de los números para responder la pregunta y luego encuentra la respuesta.

  • ¿Cuál está más cerca de 2, \(x\)\(y\)?
  • Halla \(x^2\).

Resumen

Anteriormente, aprendimos que los números racionales son una fracción o el opuesto de una fracción. Por ejemplo, \(\frac34\) y \(\text-\frac52\) son números racionales. Una expresión numérica que se ve complicada también puede ser un número racional, siempre y cuando el valor de la expresión sea una fracción positiva o negativa. Por ejemplo, \(\sqrt{64}\) y \(\text-\sqrt[3]{\frac18}\) son números racionales porque \(\sqrt{64} = 8\) y \(\text-\sqrt[3]{\frac18} = \text-\frac12\).

Los números racionales también se pueden escribir utilizando notación decimal. Algunos tienen expansiones decimales finitas, como 0.75, -2.5 o -0.5. Otros números racionales tienen expansiones decimales infinitas, como 0.7434343 . . . donde los 43 se repiten indefinidamente (por siempre). Para evitar escribir la parte que se repite una y otra vez, utilizamos la notación \(0.7\overline{43}\) para este número. La barra que se encuentra sobre una parte de la expresión nos indica cuál es la parte que se repite indefinidamente.

La expansión decimal de un número nos ayuda a ubicarlo con precisión sobre una recta numérica que esté dividida en décimas. Por ejemplo, \(0.7\overline{43}\) debe estar entre 0.7 y 0.8. Cada dígito decimal adicional aumenta la precisión de nuestra ubicación. Por ejemplo, el número \(0.7\overline{43}\) está entre 0.743 y 0.744.

Entradas del glosario

  • decimal periódico

    Un decimal periódico tiene dígitos que aparecen una y otra vez, siguiendo el mismo patrón. Los dígitos que se repiten se marcan con una raya encima de ellos. 

    Por ejemplo, la representación decimal de \(\frac13\) es \(0.\overline{3}\), que significa 0.3333333 . . . La representación decimal de \(\frac{25}{22}\) es \(1.1\overline{36}\), que significa 1.136363636 . . .