Lección 1

Las áreas de los cuadrados y sus longitudes de lado

Investiguemos los cuadrados y sus longitudes de lado.

1.1: Dos regiones

¿Qué región sombreada es más grande? Explica tu razonamiento.

Two quadrilaterals, labeled “A” and “B,” on square grids. Both quadrilaterals are not aligned to the horizontal or vertical gridlines.

 

1.2: Descompongamos para encontrar el área

 Encuentra el área de cada cuadrado sombreado (en unidades cuadradas).

  1. Tilted square of square forming right triangles in each corner with leg lengths of 1 and 9 units 
  2. Tilted square inside of a square forming right triangles in each corner with both leg lengths = 5 units 
  3. Tilted blue square inside of a square forming right triangles in each corner with leg lengths of 3 and 7.


Cualquier triángulo con una base de 13 y una altura de 5 tiene un área de \(\frac{65}{2}\).

2 right triangles on a grid partitioned into red, blue, yellow, and green parts. For each, base = 13, height= 5, area= the fraction 65 over 2    

Ambas figuras en la imagen se han dividido en las mismas cuatro partes. Encuentra el área de cada una de las partes y verifica que las partes correspondientes sean las mismas en cada imagen. Parece que en la figura de la derecha hay una unidad más de área que en la figura de la izquierda. Si todas las partes tienen la misma área, ¿cómo es esto posible?

1.3: Estimemos las longitudes de los lados a partir de las áreas

3 squares labeled A, B, C. Side length of A= 5. Side length of B= square root of 25. Side length of C=6.
  1. ¿Cuál es la longitud de lado del cuadrado A?, ¿cuál es su área?
  2. ¿Cuál es la longitud de lado del cuadrado C?, ¿cuál es su área?
  3. ¿Cuál es el área del cuadrado B?, ¿cuál es su longitud de lado? (Usa papel de calcar para verificar tu respuesta).

  4. Encuentra las áreas de los cuadrados D, E y F. ¿Cuál de estos cuadrados debe tener una longitud de lado mayor que 5 pero menor que 6? Explica cómo lo sabes.

    3 squares labeled D, E, F. Side length of D= square root of 20. Side length of E = square root of 29. Side length of F=square root of 34.

1.4: Hagamos cuadrados

El profesor dará a tu grupo una hoja con tres cuadrados y 5 figuras recortadas etiquetadas con D, E, F, G y H. Usa los cuadrados para encontrar el área total de las cinco figuras. Puedes suponer que cada cuadrado pequeño es igual a 1 unidad cuadrada.

Resumen

El área de un cuadrado con longitud de lado de 12 unidades es \(12^2\) o 144 unidades2. 

La longitud de lado de un cuadrado con un área de 900 unidades2 es 30 unidades porque \(30^2 = 900\).  

A veces queremos encontrar el área de un cuadrado, pero no sabemos su longitud de lado. Por ejemplo, ¿cómo podemos encontrar el área del cuadrado \(ABCD\)?

Una forma es encerrarlo en un cuadrado cuyas longitudes de lado conozcamos.

Tilted square ABCD with side lengths of square root of 73 units 

El cuadrado exterior \(EFGH\) tiene longitudes de lado de 11 unidades, por lo que su área es de 121 unidades2. El área de cada uno de los cuatro triángulos es \(\frac12 \boldcdot 8 \boldcdot 3 = 12\), y entonces el área de los cuatro juntos es \(4 \boldcdot 12 = 48\) unidades2. Para obtener el área del cuadrado sombreado, podemos tomar el área del cuadrado exterior y restar las áreas de los 4 triángulos. Entonces, el área del cuadrado sombreado \(ABCD\) es \(121 - 48 = 73\) o 73 unidades2.

Tilted square ABCD inside of square HEFG forming right triangles in each corner with leg lengths of 3 and 8 units