Lección 11

1. Ordena los siguientes pares de puntos de los más cercanos a los más lejanos. Prepárate para explicar tu razonamiento.

   1. \((2,4)\) y \((2,10)\)

   2. \((\text -3,6)\) y \((5,6)\)

   3. \((\text -12, \text -12)\) y \((\text -12, \text -1)\)

   4. \((7, 0)\) y \((7,\text -9)\)

   5. \((1, \text -10)\) y \((\text -4,\text -10)\)

2. Nombra otro par de puntos que estén más cerca que el primer par de tu lista.

3. Nombra otro par de puntos que estén más lejos que el último par de tu lista.

Halla las distancias entre los tres puntos que se muestran.

Cada persona de tu grupo debe escoger uno de los pares de puntos que se muestran aquí. Luego, cada uno debe calcular la longitud del segmento de recta que queda entre esos dos pares de puntos. Una vez que hayan calculado los valores, cada persona del grupo debe compartir brevemente cómo realizó sus cálculos.

• \((\text -3,1)\) y \((5,7)\)

• \((\text -1,\text -6)\) y \((5,2)\)

• \((\text -1,2)\) y \((5,\text -6)\)

• \((\text -2,\text -5)\) y \((6,1)\)

1. ¿En qué se parece o se diferencia el valor que hallaste de los valores del resto de tu grupo?
2. Con tus propias palabras, escribe una explicación para otro estudiante de cómo hallar la distancia entre dos pares de puntos cualesquiera.

Podemos utilizar el teorema de Pitágoras para hallar la distancia entre cualquier par de puntos en el plano de coordenadas. Por ejemplo, si las coordenadas del punto \(A\) son \((\text-2,\text-3)\) y las coordenadas del punto \(B\) son \((\text-8,4)\), hallemos la distancia entre ellos. Esta distancia también es la longitud del segmento de recta \(AB\). Es una buena idea graficar los puntos primero.

Piensa en la distancia entre \(A\) y \(B\), o en la longitud del segmento \(AB\), como la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Las longitudes de los catetos se pueden deducir a partir de las coordenadas de los puntos.

La longitud del cateto horizontal es 6, lo que se puede ver en el diagrama, pero también es la distancia entre las coordenadas \(x\) de \(A\) y de \(B\), ya que \(|\text-8-\text-2|=6\). La longitud del cateto vertical es 7, lo que se puede ver en el diagrama, pero también es la distancia entre las coordenadas \(y\) de \(A\) y de \(B\), ya que \(|4 - \text-3|=7\).

Una vez que se conocen los catetos, utilizamos el teorema de Pitágoras para hallar la longitud de la hipotenusa, \(AB\), que podemos representar con \(c\). Como \(c\) es un número positivo, solo hay un valor que puede tomar:

\(\begin{align} 6^2+7^2&=c^2 \\ 36+49&=c^2 \\ 85&=c^2 \\ \sqrt{85}&=c \\ \end{align}\)

Esta longitud es un poco mayor que 9, ya que 85 es un poco mayor que 81. Al utilizar una calculadora obtenemos una respuesta más precisa, \(\sqrt{85} \approx 9.22\).