Lección 9
El recíproco
Determinemos si un triángulo es un triángulo rectángulo.
9.1: Las manecillas de un reloj
Considera las puntas de las manecillas de un reloj analógico en el que la manecilla que indica las horas mide 3 centímetros de largo y la manecilla que indica los minutos mide 4 centímetros de largo.
En el transcurso de un día:
-
¿Qué es lo más lejos que pueden estar las dos puntas de las manecillas?
-
¿Qué es lo más cerca que pueden estar las dos puntas de las manecillas?
-
¿En algún momento las dos puntas están a exactamente cinco centímetros de distancia?
9.2: Demostremos el recíproco
Estos son tres triángulos que tienen dos lados que miden 3 y 4 unidades y su tercer lado tiene una longitud desconocida.
Ordena los siguientes seis números de menor a mayor. Pon un signo igual entre cualesquiera que sepas que son iguales. Prepárate para explicar tu razonamiento.
\(\displaystyle 1\qquad 5\qquad 7\qquad x\qquad y\qquad z \)
Un argumento similar también nos permite distinguir a los triángulos acutángulos de los triángulos obtusángulos utilizando únicamente las longitudes de sus lados.
Determina si los triángulos que tienen las siguientes longitudes de lados son acutángulos, rectángulos u obtusángulos. Para los triángulos obstusángulo y rectángulo identifica cuál es el lado opuesto al ángulo recto o al obtuso.
- \(x=15\), \(y=20\), \(z=8\)
- \(x=8\), \(y=15\), \(z=13\)
-
\(x=17\), \(y=8\), \(z=15\)
9.3: Calculemos los catetos de algunos triángulos rectángulos
- Con la información dada para los tríangulos rectángulos en esta imagen, halla las longitudes de los catetos desconocidas aproximándolas a la décima más cercana. <
- El siguiente triángulo no es un triángulo rectángulo. ¿De cuáles dos formas diferentes podrías cambiar uno de los valores para que sea un triángulo rectángulo? Dibuja estos triángulos rectángulos nuevos y marca claramente el ángulo recto.
Resumen
¿Qué tal que no sea claro si un triángulo es un triángulo rectángulo o no? Mira este triángulo:
¿Es un triángulo rectángulo? Es difícil determinarlo si solo lo miramos y es posible que los lados no estén dibujados a escala.
Supongamos que tenemos un triángulo con lados de longitudes \(a\), \(b\) y \(c\), y \(c\) es el lado más largo. El recíproco del teorema de Pitágoras nos dice que si \(a^2+b^2=c^2\), entonces el triángulo debe ser un triángulo rectángulo. Por ejemplo, como \(8^2+15^2=64+225=289=17^2\), cualquier triángulo que tenga lados de longitudes 8, 15 y 17 tiene que ser un triángulo rectángulo.
Juntos, el teorema de Pitágoras y su recíproco proporcionan una forma de comprobar con un solo paso si un triángulo es un triángulo rectángulo utilizando únicamente las longitudes de sus lados. Si \(a^2+b^2=c^2\), entonces es un triángulo rectángulo. Si \(a^2+b^2\neq c^2\), entonces no es un triángulo rectángulo.
Entradas del glosario
- cateto
Los catetos de un triángulo rectángulo son los lados que forman el ángulo recto.
Estos son algunos triángulos rectángulos. Cada cateto está etiquetado.
- hipotenusa
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el lado que está opuesto al ángulo recto. Es el lado más largo del triángulo rectángulo.
Estos son algunos triángulos rectángulos. Cada hipotenusa está etiquetada.
- teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras describe la relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
Es diagrama muestra un triángulo rectángulo con cuadrados construidos en cada lado. Si sumamos las áreas de los dos cuadrados más pequeños, obtenemos el área del cuadrado grande.
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esto se escribe como \(a^2+b^2=c^2\).
