Lección 4
Raíces cuadradas en la recta numérica
Exploremos las raíces cuadradas.
4.1: Observa y pregúntate: diagonales
¿Que observas? ¿Qué te preguntas?
4.2: Elevemos rectas al cuadrado
- Estima la longitud del segmento de recta aproximándola a la décima de unidad más cercana (cada cuadrado de la cuadrícula tiene área 1 unidad cuadrada).
- Encuentra la longitud exacta del segmento.
4.3: Raíz cuadrada de 3
Diego dijo que él piensa que \(\sqrt{3}\approx 2.5\).
- Usa el cuadrado para explicar por qué 2.5 no es una buena aproximación de \(\sqrt{3}\). Encuentra un punto en la recta numérica que esté más cerca de \(\sqrt{3}\). Dibuja un nuevo cuadrado en los ejes y utilízalo para explicar cómo sabes que el punto que ubicaste es una buena aproximación para \(\sqrt{3}\).
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Usa el hecho de que \(\sqrt{3}\) es una solución de la ecuación \(x^2 = 3\) para encontrar una aproximación decimal de \(\sqrt{3}\) cuyo cuadrado está entre 2.9 y 3.1.
Un agricultor tiene un terreno cubierto de césped encerrado por una cerca en forma de un cuadrado con una longitud de lado de 4 metros. Para convertirlo en un hogar adecuado para algunos animales, el granjero quisiera delimitar un cuadrado más pequeño para llenarlo con agua, como se muestra en la figura.
¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado más pequeño para que la mitad del área sea césped y la mitad agua?
Resumen
Este es un segmento de recta en una cuadrícula. ¿Cuál es la longitud de este segmento de recta?
Dibujar algunos círculos nos permite decir que es más largo que 2 unidades, pero más corto que 3 unidades.
Para encontrar un valor exacto de la longitud del segmento, podemos construir un cuadrado sobre él, utilizando el segmento como uno de los lados del cuadrado.
El área de este cuadrado es de 5 unidades cuadradas. (¿Puedes ver por qué?) Eso significa que el valor exacto de la longitud de su lado es \(\sqrt5\) unidades.
Observa que 5 es mayor que 4, pero menor que 9. Eso significa que \(\sqrt5\) es mayor que 2, pero menor que 3. Esto tiene sentido porque ya vimos que la longitud del segmento está entre 2 y 3.
Con algo de aritmética, podemos obtener una idea aún más precisa de dónde está \(\sqrt5\) en la recta numérica. La imagen con los círculos muestra que \(\sqrt5\) está más cerca de 2 que de 3, así que busquemos el valor de 2.12 y 2.22 y veamos qué tan cerca están de 5. Resulta que \(2.1^2=4.41\) y \(2.2^2=4.84\), entonces necesitamos probar un número más grande. Si aumentamos nuestra búsqueda en una décima, encontramos que \(2.3^2=5.29\). Esto significa que \(\sqrt5\) es mayor que 2.2, pero menor que 2.3. Si quisiéramos seguir adelante, podríamos intentar \(2.25^2\) y eventualmente limitar el valor de \(\sqrt5\) al lugar de las centésimas. Las calculadoras realizan este mismo proceso con muchos decimales, dando una aproximación como \(\sqrt5 \approx 2.2360679775\). Aunque se trata de muchas cifras decimales, todavía no es exacto porque \(\sqrt5\) es irracional.
Entradas del glosario
- número irracional
Un número irracional es un número que no es una fracción ni el opuesto de una fracción.
Pi (\(\pi\)) y \(\sqrt{2}\) son ejemplos de números irracionales.
- número racional
Un número racional es una fracción o el opuesto de una fracción.
Algunos ejemplos de números racionales son: \(\frac74, 0, \frac63, 0.2, \text-\frac13,\text-5,\sqrt9\)
- raíz cuadrada
La raíz cuadrada de un número positivo \(n\) es el número positivo que al ser elevado al cuadrado da \(n\). También es la longitud de lado de un cuadrado de área \(n\). Escribimos la raíz cuadrada de \(n\) como \(\sqrt{n}\).
Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16, que se escribe como \(\sqrt{16}\), es 4 pues \(4^2\) es 16.
\(\sqrt{16}\) también es la longitud de lado de un cuadrado que tiene un área de 16.