Lección 13

Determina si cada expresión es verdadera o falsa.

\(\left( \sqrt[3]{5} \right)^3=5\)

\(\left(\sqrt[3]{27}\right)^3 = 3\) 

\(7 = \left(\sqrt[3]{7}\right)^3\)

\(\left(\sqrt[3]{10}\right)^3 = 1,\!000\) 

\(\left(\sqrt[3]{64}\right) = 2^3\) 

¿Entre cuáles dos números enteros se encuentra cada raíz cúbica? Prepárate para explicar tu razonamiento.

1. \(\sqrt[3]{5}\)
2. \(\sqrt[3]{23}\)
3. \(\sqrt[3]{81}\)
4. \(\sqrt[3]{999}\)

Los números \(x\), \(y\) y \(z\) son positivos y:

1. Ubica \(x\), \(y\) y \(z\) en la recta numérica. Prepárate para compartir tu razonamiento con la clase.
2. Ubica \(\text- \sqrt[3]{2}\) en la recta numérica.

Recuerda que las raíces cuadradas de los números enteros se definen como las longitudes de lado de los cuadrados. Por ejemplo, \(\sqrt{17}\) es la longitud de lado de un cuadrado que tiene un área de 17. Definimos las raíces cúbicas de forma similar, pero usando cubos en lugar de cuadrados. El número \(\sqrt[3]{17}\), que se pronuncia "la raíz cúbica de 17", es la longitud de lado de un cubo que tiene un volumen de 17.

Podemos aproximar los valores de las raíces cúbicas observando los números enteros que están cerca y recordando la relación que hay entre las raíces cúbicas y los cubos. Por ejemplo, \(\sqrt[3]{20}\) está entre 2 y 3 porque \(2^3=8\) y \(3^3=27\), y 20 está entre 8 y 27. De manera similar, como 100 está entre \(4^3\) y \(5^3\), sabemos que \(\sqrt[3]{100}\) está entre 4 y 5. Muchas calculadoras tienen una función de raíz cúbica y se pueden utilizar para aproximar el valor de una raíz cúbica de forma más precisa. Para nuestros números de antes, una calculadora nos mostrará que \(\sqrt[3]{20} \approx 2.7144\) y que \(\sqrt[3]{100} \approx 4.6416\).

Al igual que las raíces cuadradas, la mayoría de las raíces cúbicas de números enteros son irracionales. La raíz cúbica de un número es un número entero únicamente cuando el número original es un cubo perfecto.