Lección 16

Factores comunes

Usemos factores para resolver problemas.

16.1: Figuras hechas de cuadrados

¿En qué se parecen las figuras? ¿En qué se diferencian?

A collection of colored squares, arranged various way.  Please ask for additional help.

 

16.2: La feria de pastelería de Diego

Diego está preparando brownies y galletas para una feria de pastelería. A él le gustaría formar bolsas del mismo tamaño para vender todos los 48 brownies y las 64 galletas que tiene. Organiza tu respuestas a cada pregunta para que pueda ser seguida por otros.

  1. ¿Cómo puede Diego empacar todos los 48 brownies para que cada bolsa tenga la misma cantidad de ellos? ¿Cuántas bolsas puede hacer y cuántos brownies habrá en cada bolsa? Encuentra todas las maneras posibles de empacar los brownies.

  2. ¿Cómo puede Diego empacar todas las 64 galletas para que cada bolsa tenga la misma cantidad de ellas? ¿Cuántas bolsas puede hacer y cuántas galletas habrá en cada bolsa? Encuentra todas las maneras posibles de empacar las galletas.

  3. ¿Cómo puede Diego empacar todos los 48 brownies y las 64 galletas para que cada bolsa tenga la misma combinación de elementos? ¿Cuántas bolsas puede hacer y cuántos elementos de cada tipo habrá en cada bolsa? Encuentra todas las maneras posibles de empacar ambos elementos.
  4. ¿Cuál es el mayor número de bolsas combinadas que Diego puede hacer sin que sobre nada? Explica a tu compañero cómo sabes que este es el mayor número posible de bolsas.

16.3: El máximo factor común

  1. El máximo factor común de 30 y 18 es 6. ¿Qué creen que significa el término "máximo factor común"?
  2. Encuentren todos los factores de 21 y de 6. Luego, identifiquen el máximo factor común de 21 y 6.
  3. Encuentren todos los factores de 28 y de 12. Luego, identifiquen el máximo factor común de 28 y 12.

  4. Una cartelera de avisos que es rectangular tiene 12 pulgadas de alto y 27 pulgadas de ancho. Elena planea cubrirlo con cuadrados de papel de colores que tienen todos el mismo tamaño. Los cuadrados de papel vienen en diferentes tamaños; todos tienen valores enteros en pulgadas para las longitudes de sus lados.

    1. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado más grande que Elena podría usar para cubrir completamente la cartelera de avisos sin dejar espacios ni permitir superposiciones? Expliquen o muestren su razonamiento.

    2. ¿Cómo se relaciona la solución a este problema con el máximo factor común?


Una escuela tiene 1000 casilleros, todos alineados en un corredor. Cada casillero esta cerrado. Entonces . . .

  • Un estudiante va por el corredor y abre cada casillero.
  • Un segundo estudiante va por el corredor y cierra cada segundo casillero: casilleros 2, 4, 6 y así sucesivamente.
  • Un tercer estudiante va por el corredor y cambia cada tercer casillero. Si el casillero está abierto, él lo cierra. Si el casillero está cerrado, él lo abre.
  • Un cuarto estudiante va por el corredor y cambia cada cuatro casilleros.

¡Este proceso continúa hasta el milésimo estudiante! ¿Qué casilleros estarán abiertos al final del proceso? (Pista: es posible que quieras intentar hacer este problema primero con un número menor de casilleros).

Resumen

Un factor de un número entero \(n\) es un número entero que divide a \(n\) exactamente sin un residuo. Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 6 y 12 son todos factores de 12 porque cada uno de ellos divide a 12 exactamente y no queda ningún residuo.

Un factor común de dos números enteros es un factor que estos números tienen en común. Por ejemplo, 1, 3, 5 y 15 son factores de 45; estos también son factores de 60. Llamamos a 1, 3, 5 y 15 factores comunes de 45 y 60.

El máximo factor común (algunas veces escrito como MFC) de dos números enteros es el mayor de todos los factores comunes. Por ejemplo, 15 es el máximo factor común para 45 y 60. 

Una manera de hallar el máximo factor común de dos números enteros es hacer una lista de los factores de cada número y luego buscar el mayor factor que tienen en común. Intentemos encontrar el máximo factor común de 18 y 24. Primero, hacemos una lista de los factores de cada número.

  • Factores de: 1, 2, 3, 6, 9,18

  • Factores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Los factores comunes son 1, 2, 3 y 6. De éstos, 6 es el mayor, así que 6 es el máximo factor común de 18 y 24.

Entradas del glosario

  • factor común

    Un factor común de dos números es un número que divide a ambos exactamente (sin dejar residuo). Por ejemplo, 5 es un factor común de 15 y 20, porque \(15 \div 5 = 3\) y \(20 \div 5 = 4\). Ambos cocientes, 3 y 4, son números enteros. En otras palabras, un factor común de dos números enteros es un factor que estos números tienen en común

    • Los factores de 15 son 1, 3, 5  y 15. 
    • Los factores de 20 son 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

    Así, un factor común de 15 y 20 es 5.

  • máximo factor común

    El máximo factor común de dos números es el número entero más grande que divide a ambos números sin dejar residuo. A veces nos referimos a este número como GCF (por sus siglas en inglés) o MFC. Por ejemplo, 15 es el máximo factor común de 45 y 60.

    • Los factores de 45 son 1, 3, 5, 9, 15 y 45.
    • Los factores de 60 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60.