Lección 17

Múltiplos comunes

Usemos múltiplos para resolver problemas.

17.1: Observa y pregúntate: múltiplos

Marca todos los múltiplos de 4 en esta lista.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26

Marca todos los múltiplos de 6 en esta lista.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

17.2: El pedido de la florista

Una florista puede hacer pedidos de rosas en manojos de 12 y de lirios en manojos de 8. El mes pasado pidió la misma cantidad de rosas y de lirios.

  1. Si ella hizo pedidos de no más de 100 de cada tipo de flor, ¿cuántos manojos de cada una pudo haber pedido? Encuentra todas las combinaciones posibles.
  2. ¿Cuál es el número más pequeño de manojos de rosas que pudo haber pedido? Y para los lirios, ¿cuál es el número más pequeño de manojos? Explica tu razonamiento.

17.3: Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo de 6 y 8 es 24.

  1. ¿Qué piensas que significa el término "mínimo común múltiplo"?

  2. Encuentra todos los múltiplos de 10 y 8 que son menores que 100. Encuentra el mínimo común múltiplo de 10 y 8.

  3. Encuentra todos los múltiplos de 7 y 9 que son menores que 100. Encuentra el mínimo común múltiplo de 7 y 9.



  1. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 10 y 20?
  2. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 4 y 24?
  3. En las dos preguntas anteriores, un número es un múltiplo del otro. ¿Qué observas sobre su mínimo común múltiplo? ¿Piensas que esto siempre va a pasar cuando un número es un múltiplo del otro? Explica tu razonamiento. 

17.4: Premios en el día de la gran inauguración

El tío de Lin va a abrir una pastelería. El día de la gran inauguración de la pastelería, él planea regalar premios a los primeros 50 clientes que entren al local. Cada quinto cliente recibirá un bagel gratis. Cada noveno cliente recibirá un muffin de arándano gratis. Cada 12º cliente recibirá una rebanada de pastel de zanahoria gratis.

  1. Diego está esperando en la fila y es el cliente 23º. Él piensa que debería hacerse más atrás en la fila para poder recibir un premio. ¿Está en lo correcto? Si es así, ¿cuántos puestos más atrás debería hacerse para recibir por lo menos un premio? Explica tu razonamiento.

  2. Jada es la cliente 36º.

    1. ¿Ella recibirá un premio? Si es así, ¿qué premio recibirá?
    2. ¿Es posible que ella reciba más de un premio?, ¿cómo lo sabes? Explica tu razonamiento.
  3. ¿Cuántos premios en total regalará el tío de Lin? Explica tu razonamiento.

Resumen

Un múltiplo de un número entero es un producto de ese número con otro número entero. Por ejemplo, 20 es un múltiplo de 4 porque \(20 = 5\boldcdot 4\).

Un múltiplo común de dos números enteros es un número que es un múltiplo de ambos números. Por ejemplo, 20 es un múltiplo de 2 y un múltiplo de 5, así que 20 es un múltiplo común de 2 y 5. 

El mínimo común múltiplo (algunas veces escrito como MCM) de dos números enteros es el múltiplo más pequeño que tienen en común. Por ejemplo, 30 es el mínimo común múltiplo de 6 y 10.

Una forma de encontrar el mínimo común múltiplo de dos números es hacer una lista de los múltiplos de cada uno, en orden, hasta que encontremos el múltiplo más pequeño que tienen en común. Encontremos el mínimo común múltiplo de 4 y 10. Primero, hagamos la lista de algunos múltiplos de cada número. 

  • Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, . . .
  • Múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, . . .

Tanto 20 como 40 son múltiplos de 4 y 10 (como también lo son 60, 80, . . . ), pero 20 es el número más pequeño que está en ambas listas, así que 20 es el mínimo común múltiplo.

Entradas del glosario

  • factor común

    Un factor común de dos números es un número que divide a ambos exactamente (sin dejar residuo). Por ejemplo, 5 es un factor común de 15 y 20, porque \(15 \div 5 = 3\) y \(20 \div 5 = 4\). Ambos cocientes, 3 y 4, son números enteros. En otras palabras, un factor común de dos números enteros es un factor que estos números tienen en común

    • Los factores de 15 son 1, 3, 5  y 15. 
    • Los factores de 20 son 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

    Así, un factor común de 15 y 20 es 5.

  • máximo factor común

    El máximo factor común de dos números es el número entero más grande que divide a ambos números sin dejar residuo. A veces nos referimos a este número como GCF (por sus siglas en inglés) o MFC. Por ejemplo, 15 es el máximo factor común de 45 y 60.

    • Los factores de 45 son 1, 3, 5, 9, 15 y 45.
    • Los factores de 60 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60.
  • mínimo común múltiplo

    El mínimo común múltiplo de dos números es el menor número que es un múltiplo de ambos. A veces nos referimos a esté como el LCM (por sus siglas en inglés) o el MCM. Por ejemplo, 30 es el mínimo común múltiplo de 6 y 10.

    • Los múltiplos de 6 son 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 . . .
    • Los múltiplos de 10 son 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 . . .

    Los números 6 y 10 tienen varios múltiplos en común (30, 60, 90, . . .). El menor de ellos es 30.

  • múltiplo común

    Un múltiplo común de dos números enteros es un número que se puede obtener al multiplicar cada uno de los números por algún número entero (que no tiene que ser el mismo). Por ejemplo, 30 es un múltiplo común de 3 y 5 porque \(3 \cdot 10 = 30\) y \(5 \cdot 6 = 30\). Ambos factores, 10 y 6, son números enteros.

    • Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33 . . . 
    • Los múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 . . . 

    Así los múltiplos comunes de 3 y 5 son 15, 30, 45, 60 . . .