Lección 4

Relaciones a escala

Encontremos relaciones entre copias a escala.

4.1: Tres cuadriláteros (Parte 1)

Cada uno de estos polígonos es una copia a escala de los demás.

Polygon A, B, C, D. Polygon E, F, G, H. Polygon I, J, K, L.
  1. Nombra dos parejas de ángulos correspondientes. ¿Qué puedes decir sobre el tamaño de estos ángulos?
  2. Verifica tu predicción midiendo por lo menos una pareja de ángulos correspondientes con un transportador. Escribe tus mediciones aproximando al múltiplo de \(5^\circ\) más cercano.

4.2: Tres cuadriláteros (Parte 2)

Cada uno de estos polígonos es una copia a escala de los otros. Ya revisaste sus ángulos correspondientes.

Polygon A, B, C, D. Polygon E, F, G, H. Polygon I, J, K, L.
  1. Es difícil encontrar las longitudes de lado de los polígonos a partir de la cuadrícula, pero hay otras distancias correspondientes que son más fáciles de comparar. Identifica las distancias de los otros dos polígonos que corresponden a \(DB\) y \(AC\) y escríbelas en la tabla.
    cuadrilátero distancia que
    corresponde a \(DB\)     		distancia que
    corresponde a \(AC\)
    \(ABCD\) \(DB = 4\) \(AC = 6\)
    \(EFGH\)    
    \(IJKL\)    

  2. Mira los valores de la tabla. ¿Qué observas?

    Haz una pausa acá para que tu profesor pueda revisar tu trabajo.

  3. La figura más grande es una copia a escala de la figura más pequeña.

    Two figures of the letter W.
    1. Si \(AE = 4\), ¿qué tan larga es la distancia correspondiente de la segunda figura? Explica o muestra tu razonamiento.
    2. Si \(IK = 5\), ¿qué tan larga es la distancia correspondiente de la primera figura? Explica o muestra tu razonamiento.

4.3: ¿Está a escala o no?

Estos son dos cuadriláteros:

Two quadrilaterals on a coordinate plane
  1. Mai dice que el polígono \(ZSCH\) es una copia a escala del polígono \(XJYN\), pero Noah no está de acuerdo. ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica o muestra tu razonamiento.
  2. Registra las distancias correspondientes en la tabla. ¿Qué observas?
    cuadrilátero distancia horizontal distancia vertical
    \(XJYN\) \(XY = \phantom{33}\) \(JN = \phantom{33}\)
    \(ZSCH\) \(ZC = \phantom{33}\) \(SH = \phantom{33}\)
  3. Mide al menos tres pares de ángulos correspondientes de \(XJYN\) y \(ZSCH\) usando un transportador. Escribe tus mediciones al múltiplo de \(5^\circ\) más cercano. ¿Qué puedes observar?
  4. ¿Estos resultados cambian tu respuesta a la primera pregunta? Explica.

  5. Estos son otros dos cuadriláteros.

    2 trapezoids with side lengths and angle measurements provided 
    Kiran dice que el polígono \(EFGH\) es una copia a escala de \(ABCD\), pero Lin no está de acuerdo. ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica o muestra tu razonamiento.


Todas las longitudes de lado del cuadrilátero \(MNOP\) son 2 y todas las longitudes de lado del cuadrilátero \(QRST\) son 3. ¿\(MNOP\) tiene que ser una copia a escala de \(QRST\)? Explica tu razonamiento.

4.4: Comparemos fotos de pájaros

Estas son dos fotos de un pájaro. Encuentra evidencias de que una foto no es una copia a escala de la otra. Prepárate para explicar tu razonamiento.

Two images of the same bird. The image on the right is taller and slimmer than the image on the left. 

 

Resumen

Cuando una figura es una copia a escala de otra figura, sabemos que:

  • Todas las distancias en la copia se pueden encontrar multiplicando las distancias correspondientes de la figura original por el mismo factor de escala, sin importar si los puntos están unidos por un segmento o no.

    Por ejemplo, el polígono \(STUVWX\) es una copia a escala del polígono \(ABCDEF\). El factor de escala es 3. La distancia de \(T\) a \(X\) es 6, que es tres veces la distancia de \(B\) a \(F\).

Polygon ABCDEF and its scaled copy Polygon STUVWX.
  • Todos los ángulos de la copia tienen la misma medida que los ángulos correspondientes de la figura original, como en estos triángulos.
Original triangle has angle measures 42, 60, and 78 degrees. The larger, scaled version of the triangle has angle measures 42, 60, and 78 degrees.

Estas observaciones pueden ayudar a explicar por qué una figura no es una copia a escala de la otra.

Por ejemplo, aunque sus ángulos correspondientes tienen la misma medida, el segundo rectángulo no es una copia a escala del primer rectángulo porque hay diferentes parejas de longitudes correspondientes que tienen diferentes factores de escala, \(2 \boldcdot \frac12 = 1\) pero \(3 \boldcdot \frac23 = 2\).

The first rectangle has height 2 and length 3. The second rectangle has height 1 and length 2.

Entradas del glosario

  • copia a escala

    Una copia a escala es una copia de una figura en la cual cada longitud de la figura original se multiplica por el mismo número.

    Por ejemplo, el triángulo \(DEF\) es una copia a escala del triángulo \(ABC\). Cada longitud de lado en el triángulo \(ABC\) fue multiplicada por 1.5 para obtener la longitud de lado correspondiente en el triángulo \(DEF\).

    2 triangles
  • correspondiente

    Si una parte de una figura y una parte de una copia de la figura están en la misma posición en relación a las demás partes de cada figura, decimos que las partes son correspondientes. Estas partes pueden ser puntos, segmentos, ángulos o distancias.

    Por ejemplo, el punto en \(B\) el primer triángulo corresponde al punto \(E\) en el segundo triángulo.

    El segmento \(AC\) corresponde al segmento \(DF\).

    2 triangles with corresponding parts
  • factor de escala

    Para crear una copia a escala, multiplicamos todas las longitudes de la figura original por el mismo número. Ese número se llama el factor de escala.

    En este ejemplo, el factor de escala es 1.5, porque \(4 \boldcdot (1.5) = 6\), \(5 \boldcdot (1.5)=7.5\), and \(6 \boldcdot (1.5)=9\).

    2 triangles