Lección 6

Tu profesor te dará algunas fichas geométricas. Trabaja con tu grupo para construir las copias a escala descritas en cada pregunta.

1. ¿Cuántas fichas de rombo azul se necesitan para hacer una copia a escala de la figura A:

   1. en la que cada lado sea el doble del largo original?

   2. en la que cada lado tenga 3 veces el largo original?

   3. en la que cada lado tenga 4 veces el largo original?

2. ¿Cuántas fichas de triángulo verde se necesitan para hacer una copia a escala de la figura B:

   1. en la que cada lado sea el doble del largo original?

   2. en la que cada lado tenga 3 veces el largo original?

   3. usando un factor de escala de 4?

3. ¿Cuántas fichas de trapecio rojo se necesitan para hacer una copia a escala de la figura C: 

   1. usando un factor de escala de 2?

   2. usando un factor de escala de 3?

   3. usando un factor de escala de 4?

Tu profesor le asignará una de estas figuras a tu grupo.

1. Construye una copia a escala de la figura que te fue asignada usando un factor de escala de 2. Usa fichas geométricas con la misma forma que las de la figura original. ¿Cuántas fichas se necesitaron?

2. Tu compañero piensa que para construir cada copia a escala del problema anterior se necesitarán 4 fichas. ¿Estás de acuerdo o en desacuerdo? Explica tu razonamiento.

3. Empieza a construir una copia a escala de la figura que te fue asignada usando un factor de escala de 3. Detente cuando estés seguro de cuántas fichas se necesitarían. Escribe tu respuesta.

4. ¿Cuántas fichas se necesitarían para construir copias a escala de tu figura usando como factores de escala 4, 5 y 6? Explica o muestra tu razonamiento.

5. ¿En qué se parece el patrón de esta actividad al que observaste la actividad pasada? ¿En qué se diferencia?

1. Tu profesor te dará una figura con medidas en centímetros. ¿Cuál es el área de la figura? ¿Cómo lo sabes?
2. Trabaja con tu compañero en dibujar copias a escala de la figura, usando cada uno de los factores de escala de la tabla. Completen la tabla con las medidas de las copias a escala.

   factor de escala	base (cm)	altura (cm)	área (cm2)
   1
   2
   3
   \(\frac{1}{2}\)
   \(\frac{1}{3}\)

    

3. Comparen sus resultados con los de un grupo que haya trabajado con una figura diferente. ¿Qué es igual en sus respuestas? ¿Qué es diferente?
4. Si dibujaran copias a escala de la figura con los siguientes factores de escala, ¿cuáles serían sus áreas? Discutan su razonamiento. Si están en desacuerdo, trabajen para llegar a un acuerdo. Prepárense para explicar su razonamiento.

   factor de escala	área (cm2)
   5
   \(\frac{3}{5}\)

Redimensionar afecta las longitudes y las áreas de forma diferente. Cuando hacemos una copia a escala, todas las longitudes originales se multiplican por el factor de escala. Si hacemos una copia de un rectángulo cuyas longitudes de lado son 2 unidades y 4 unidades usando un factor de escala de 3, las longitudes de lado de la copia serán 6 unidades y 12 unidades, porque \(2\boldcdot 3 = 6\) y \(4\boldcdot 3 = 12\).

Sin embargo, el área de la copia cambia por un factor de (factor de escala)². Si cada longitud de lado de la copia es 3 veces tan larga como la longitud de lado original, entonces el área de la copia será 9 veces el área del original, porque \(3\boldcdot 3\), o \(3^2\), iguala 9.

En este ejemplo, el área del rectángulo original es 8 unidades² y el área de la copia a escala es 72 unidades² , porque \(9\boldcdot 8 = 72\). Podemos ver que el rectángulo grande está cubierto por 9 copias del rectángulo pequeño, sin espacios ni superposiciones. También podemos verificar esto multiplicando los lados del rectángulo grande: \(6\boldcdot 12=72\).

Las longitudes son unidimensionales, así que en una copia a escala, cambian según el factor de escala. El área es bidimensional, entonces cambia según el cuadrado del factor de escala. Podemos ver que esto es verdad en el caso de un rectángulo de longitud \(l\) y ancho \(w\). Si redimensionamos el rectángulo por un factor de escala de \(s\), obtenemos un rectángulo de longitud \(s\boldcdot l\) y ancho \(s\boldcdot w\). El área del rectángulo redimensionado es \(A = (s\boldcdot l) \boldcdot (s\boldcdot w)\), y así \(A= (s^2) \boldcdot (l \boldcdot w)\). El hecho de que el área se multiplique por el cuadrado del factor de escala también es verdad para copias a escala de otras figuras bidimensionales, no sólo los rectángulos.