Lección 15

Expansiones decimales infinitas

Pensemos en decimales infinitos.

Problema 1

Elena y Han discuten cómo escribir el decimal que se repite \(x = 0.13\overline{7}\) como una fracción. Han dice que \(0.13\overline{7}\) es igual a \(\frac{13764}{99900}\). "Calculé \(1000x = 137.77\overline{7}\) porque el decimal se empieza a repetir después de 3 dígitos. Luego resté para obtener \(999x = 137.64\). Luego, multipliqué por \(100\) para deshacerme del decimal: \(99900x = 13764\). Y finalmente dividí para obtener \(x = \frac{13764}{99900}\)". Elena dice que \(0.13\overline{7}\) es igual a \(\frac{124}{900}\). "Calculé \(10x = 1.37\overline{7}\) porque un dígito se repite. Luego, resté para obtener \(9x = 1.24\). Luego, hice lo mismo que Han para obtener \(900x = 124\) y \(x = \frac{124}{900}\)".

¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica tu razonamiento.

Problema 2

¿En qué se parecen los números \(0.444\) y \(0.\overline{4}\)? ¿En qué se diferencian?

Problema 3

  1. Escribe cada fracción como un decimal.
    1. \(\frac{2}{3}\)

    2. \(\frac{126}{37}\)

  2. Escribe cada decimal como una fracción.

    1. \(0.\overline{75}\)

    2. \(0.\overline{3}\)

Problema 4

Escribe cada fracción como un decimal.

  1. \(\frac{5}{9}\)

  2. \(\frac{5}{4}\)

  3. \(\frac{48}{99}\)

  4. \(\frac{5}{99}\)

  5. \(\frac{7}{100}\)

  6. \(\frac{53}{90}\)

Problema 5

Escribe cada decimal como una fracción

  1. \(0.\overline{7}\)

  2. \(0.\overline{2}\)

  3. \(0.1\overline{3}\)

  4. \(0.\overline{14}\)

  5. \(0.\overline{03}\)

  6. \(0.6\overline{38}\)

  7. \(0.52\overline{4}\)

  8. \(0.1\overline{5}\)

Problema 6

\(2.2^2 = 4.84\) y \(2.3^2 = 5.29\). Esto da cierta información sobre \(\sqrt 5\).

Sin calcular directamente la raíz cuadrada, ubica a \(\sqrt{5}\) sobre las tres rectas numéricas utilizando una aproximación sucesiva.

A zooming number line that is composed of 3 number lines, aligned vertically, each with 11 evenly spaced tick marks.