Lección 1

Encontremos entradas desconocidas

  • Encontremos ecuaciones nuevas y resolvámoslas.

1.1: Todo lo que sube tiene que bajar

Un artefacto mecánico se usa para lanzar verticalmente una papa al aire. La papa se lanza desde una plataforma que está a 20 pies del suelo, con una velocidad vertical inicial de 92 pies por segundo.

La función \(h(t) = \text-16t^2 + 92t + 20\) modela la altura de la papa sobre el nivel del suelo, en pies, \(t\) segundos después de su lanzamiento.

Esta es la gráfica que representa la función.

Parabola facing down with x intercept at 6. Horizontal axis, time in seconds. Vertical axis, height in feet. Maximum at about 2 point 8 comma 150.

Responde cada pregunta y prepárate para explicar tu razonamiento.

  1. ¿A qué altura está la papa 1 segundo después de su lanzamiento?
  2. 8 segundos después del lanzamiento, ¿la papa todavía estará en el aire?
  3. ¿Alcanzará la papa los 120 pies de altura? Si es así, ¿cuándo?
  4. ¿Cuándo tocará el suelo la papa?

1.2: Una visita a la tienda de Marcos

Tu profesor te dará una imagen que mide 7 pulgadas por 4 pulgadas, un material para enmarcar que mide 4 pulgadas por 2.5 pulgadas y unas tijeras.

Recorta el material para enmarcar y con él haz un marco rectangular para la imagen. El marco debe tener el mismo grosor en todos los lados y las piezas del marco no deben sobreponerse. Usa todo el material para enmarcar. ¡Nada puede sobrar pues el material para enmarcar es muy costoso!

Te van a entregar 3 copias del material para enmarcar, en caso de que cometas errores y necesites volver a empezar.



Han dice: “El perímetro de la imagen es 22 pulgadas. Si corto el material para enmarcar y formo 9 pedazos, cada uno de 2.5 pulgadas por \(\frac{4}{9}\) de pulgada, tendré más que suficiente material para poder enmarcar la imagen porque con esos pedazos podría construir 22.5 pulgadas de marco”.

¿Estás de acuerdo con Han? Explica tu razonamiento.

1.3: Representemos el problema del marco

Este es un diagrama que muestra una imagen con un marco que tiene el mismo grosor en todos los lados. La imagen mide 7 pulgadas por 4 pulgadas. El marco se hizo con 10 pulgadas cuadradas de material para enmarcar (que venía en la forma de un rectángulo de 4 pulgadas por 2.5 pulgadas).

Framed picture of flowers 
  1. Escribe una ecuación que represente la relación entre las medidas de la imagen y del marco, y el área de la imagen enmarcada. Prepárate para explicar qué representa cada parte de tu ecuación.
  2. En esta situación, ¿qué significaría una solución de esta ecuación?

Resumen

La altura a la que está una pelota de sóftbol, en pies, \(t\) segundos después de que alguien la lanza directamente hacia arriba, se puede definir por \(f(t) = \text-16t^2+32t+5\). La entrada de la función \(f\) es el tiempo y la salida es la altura.

Podemos encontrar la salida de esta función para cualquier entrada dada. Por ejemplo:

  • Al comienzo del recorrido de la pelota de sóftbol, cuando \(t = 0\), su altura está dada por \(f(0)\).
  • Dos segundos después, cuando \(t=2\), su altura está dada por \(f(2)\).

Los valores de \(f(0)\) y \(f(2)\) se pueden encontrar usando una gráfica o evaluando la expresión \(\text-16t^2+32t+5\) en esos valores de \(t\).

¿Qué pasa si conocemos la salida de la función y queremos encontrar las entradas? Por ejemplo:

  • ¿Cuándo toca el suelo la pelota de sóftbol?

    Responder esta pregunta significa encontrar los valores de \(t\) que hacen que \(f(t)=0\) o resolver \(\text -16t^2+32t+5=0\)

  • ¿Cuánto tiempo tardará la pelota en alcanzar una altura de 8 pies?

    Esto significa encontrar uno o más valores de \(t\) en los que \(f(t) = 8\) o resolver la ecuación \(\text -16t^2+32t+5=8\).

Las ecuaciones \(\text -16t^2+32t+5=0\) y \(\text -16t^2+32t+5=8\) son ecuaciones cuadráticas. Una forma de resolver estas ecuaciones es hacer una gráfica de \(y = f(t)\).

  • Para responder la primera pregunta, podemos buscar las intersecciones de la gráfica con el eje horizontal, donde la coordenada vertical es 0.
  • Para responder la segunda pregunta, podemos buscar las coordenadas horizontales a las que les corresponde una coordenada vertical de 8.
Parabola facing down. X intercept at 6. Maximum at about 2 point 8 comma 150. points plotted at 0 point 1 comma 8 and 1 point 9 comma 8. 

Podemos ver que la ecuación \(\text -16t^2+32t+5=8\) tiene dos soluciones.

La pelota de sóftbol alcanza una altura de 8 pies dos veces, al subir y al bajar, y esto ocurre cuando \(t\) es aproximadamente 0.1 o 1.9 segundos.

Con frecuencia, cuando modelamos matemáticamente una situación, basta con encontrar una solución aproximada. Sin embargo, otras veces queremos saber las soluciones exactas y puede que no sea posible encontrarlas usando una gráfica.

En esta unidad, aprenderemos más acerca de las ecuaciones cuadráticas y cómo encontrar soluciones exactas usando técnicas algebraicas.

Entradas del glosario

  • expresión cuadrática

    Una expresión cuadrática en \(x\) es una expresión que es equivalente a una expresión de la forma \(ax^2 + bx + c\), donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes, y \(a \neq 0\).