Lección 1

Un artefacto mecánico se usa para lanzar verticalmente una papa al aire. La papa se lanza desde una plataforma que está a 20 pies del suelo, con una velocidad vertical inicial de 92 pies por segundo.

Responde cada pregunta y prepárate para explicar tu razonamiento.

1. ¿A qué altura está la papa 1 segundo después de su lanzamiento?
2. 8 segundos después del lanzamiento, ¿la papa todavía estará en el aire?
3. ¿Alcanzará la papa los 120 pies de altura? Si es así, ¿cuándo?
4. ¿Cuándo tocará el suelo la papa?

Tu profesor te dará una imagen que mide 7 pulgadas por 4 pulgadas, un material para enmarcar que mide 4 pulgadas por 2.5 pulgadas y unas tijeras.

Recorta el material para enmarcar y con él haz un marco rectangular para la imagen. El marco debe tener el mismo grosor en todos los lados y las piezas del marco no deben sobreponerse. Usa todo el material para enmarcar. ¡Nada puede sobrar pues el material para enmarcar es muy costoso!

Te van a entregar 3 copias del material para enmarcar, en caso de que cometas errores y necesites volver a empezar.

Este es un diagrama que muestra una imagen con un marco que tiene el mismo grosor en todos los lados. La imagen mide 7 pulgadas por 4 pulgadas. El marco se hizo con 10 pulgadas cuadradas de material para enmarcar (que venía en la forma de un rectángulo de 4 pulgadas por 2.5 pulgadas).

1. Escribe una ecuación que represente la relación entre las medidas de la imagen y del marco, y el área de la imagen enmarcada. Prepárate para explicar qué representa cada parte de tu ecuación.
2. En esta situación, ¿qué significaría una solución de esta ecuación?

La altura a la que está una pelota de sóftbol, en pies, \(t\) segundos después de que alguien la lanza directamente hacia arriba, se puede definir por \(f(t) = \text-16t^2+32t+5\). La entrada de la función \(f\) es el tiempo y la salida es la altura.

Podemos encontrar la salida de esta función para cualquier entrada dada. Por ejemplo:

• Al comienzo del recorrido de la pelota de sóftbol, cuando \(t = 0\), su altura está dada por \(f(0)\).
• Dos segundos después, cuando \(t=2\), su altura está dada por \(f(2)\).

Los valores de \(f(0)\) y \(f(2)\) se pueden encontrar usando una gráfica o evaluando la expresión \(\text-16t^2+32t+5\) en esos valores de \(t\).

¿Qué pasa si conocemos la salida de la función y queremos encontrar las entradas? Por ejemplo:

• ¿Cuándo toca el suelo la pelota de sóftbol?

  Responder esta pregunta significa encontrar los valores de \(t\) que hacen que \(f(t)=0\) o resolver \(\text -16t^2+32t+5=0\). 

• ¿Cuánto tiempo tardará la pelota en alcanzar una altura de 8 pies?

  Esto significa encontrar uno o más valores de \(t\) en los que \(f(t) = 8\) o resolver la ecuación \(\text -16t^2+32t+5=8\).

Las ecuaciones \(\text -16t^2+32t+5=0\) y \(\text -16t^2+32t+5=8\) son ecuaciones cuadráticas. Una forma de resolver estas ecuaciones es hacer una gráfica de \(y = f(t)\).

• Para responder la primera pregunta, podemos buscar las intersecciones de la gráfica con el eje horizontal, donde la coordenada vertical es 0.
• Para responder la segunda pregunta, podemos buscar las coordenadas horizontales a las que les corresponde una coordenada vertical de 8.

Con frecuencia, cuando modelamos matemáticamente una situación, basta con encontrar una solución aproximada. Sin embargo, otras veces queremos saber las soluciones exactas y puede que no sea posible encontrarlas usando una gráfica.

En esta unidad, aprenderemos más acerca de las ecuaciones cuadráticas y cómo encontrar soluciones exactas usando técnicas algebraicas.