Lección 14

Completemos el cuadrado (parte 3)

  • Completemos el cuadrado cuando las expresiones son más complejas.

14.1: Dos formas de cuadrados perfectos

Elena dice: “Al desarrollar \((x+3)^2\) obtengo \(x^2 + 6x + 9\). De la misma manera, al desarrollar \((2x+3)^2\) obtengo \(4x^2 + 6x + 9\)”.

Encuentra un error en la afirmación de Elena y corrígelo. Muestra tu razonamiento.

14.2: Perfecto, pero de otra forma

  1. Escribe cada expresión en forma estándar:
    1. \((4x+1)^2\)
    2. \((5x-2)^2\)
    3. \((\frac12 x + 7)^2\)
    4. \((3x+n)^2\)
    5. \((kx+m)^2\)
  2. Decide si cada expresión es un cuadrado perfecto. Si es así, escríbe una expresión equivalente de la forma \((kx+m)^2\). Si no, sugiere un cambio para convertirla en un cuadrado perfecto.
    1. \(4x^2 + 12x + 9\)
    2. \(4x^2 + 8x+ 25\)

14.3: Cuando todas las estrellas se alinean

  1. En cada expresión de la columna izquierda, encuentra el valor de \(c\) que hace que esta sea un cuadrado perfecto en forma estándar. Después, escribe una expresión equivalente en la forma de un factor al cuadrado. En la última fila, escribe tu propia pareja de expresiones equivalentes.
    forma estándar \((ax^2+bx+c)\) factor al cuadrado \((kx+m)^2\)
    \(100x^2+80x+c\)
    \(36x^2-60x+c\)
    \(25x^2+40x+c\)
    \(0.25x^2-14x+c\)
                                     

  2. Resuelve cada ecuación completando el cuadrado:

    \(25x^2 + 40x = \text-12\)

    \(36x^2 - 60x + 10 = \text-6\)

14.4: Alineemos las estrellas

Estos son tres métodos para solucionar \(3x^2 + 8x + 5 = 0\).

Intenta darle sentido a cada método.

Método 1:

\(\displaystyle \begin {align}3x^2 + 8x + 5 &= 0\\ (3x + 5)(x + 1) &= 0 \end{align}\)

\(\displaystyle \begin {align} x = \text- \frac53 \quad \text{o} \quad x = \text-1\end {align}\)

Método 2:

\(\displaystyle \begin {align} 3x^2 + 8x + 5 &= 0\\ 9x^2 + 24x + 15 &= 0\\ (3x)^2 + 8(3x) + 15 &= 0\\ U^2 + 8U + 15 &= 0\\ (U+5)(U+3) &= 0 \end{align}\)
\(\displaystyle \begin {align} U = \text-5 \quad &\text{o} \quad U = \text-3\\3x = \text-5 \quad &\text{o} \quad 3x = \text-3\\ x = \text- \frac53 \quad &\text{o} \quad x = \text-1 \end{align}\)

Método 3:

\(\displaystyle \begin {align} 3x^2 + 8x + 5 &= 0\\ 9x^2 + 24x + 15 &= 0\\9x^2 + 24x + 16 &= 1\\(3x + 4)^2 &= 1 \end{align}\)

\(\displaystyle \begin {align} 3x+4 = 1 \quad & \text{o} \quad 3x+4 = \text-1\\x = \text-1 \quad & \text{o} \quad x = \text- \frac53 \end {align}\)

Después de comprender los métodos, usa cada uno al menos una vez para solucionar estas ecuaciones.

  1. \(5x^2 + 17x + 6 = 0\)
  2. \(6x^2 + 19x = \text-10\)
  3. \(8x^2 - 33x + 4 = 0\)
  4. \(8x^2 - 26x = \text-21\)
  5. \(10x^2 + 37x = 36\)
  6. \(12x^2 + 20x - 77=0\)


Encuentra las soluciones de \(3x^2 -6x + \frac{9}{4} = 0\). Explica tu razonamiento.

Resumen

En lecciones anteriores, trabajamos con cuadrados perfectos como \((x+1)^2\) y \((x-5)(x-5)\). Aprendimos que sus expresiones equivalentes escritas en forma estándar siguen un patrón predecible:

  • En general, \((x+m)^2\) se puede escribir como \(x^2 + 2mx + m^2\).
  • Si una expresión cuadrática es de la forma \(ax^2 + bx + c\) y el valor de \(a\) es 1, entonces el valor de \(b\) es \(2m\) y el valor de \(c\) es \(m^2\) para algún valor de \(m\).

En esta lección, la variable que hay en los factores que se elevan al cuadrado tenía un coeficiente que no era 1, por ejemplo, \((3x+1)^2\) y \((2x-5)(2x-5)\). Su expresión equivalente en forma estándar también seguía el mismo patrón que vimos anteriormente.

factores al cuadrado forma estándar
\((3x+1)^2\) \((3x)^2 + 2(3x)(1) + 1^2 \quad \text{o} \quad 9x^2 +6x + 1\)
\((2x-5)^2\) \((2x)^2 + 2(2x)(\text-5) + (\text-5)^2 \quad \text{o} \quad 4x^2 -20x + 25\)

En general, \((kx+m)^2\) se puede escribir así:

\(\displaystyle (kx)^2 + 2 (kx)(m) + m^2\)

o

\(\displaystyle k^2 x^2 + 2kmx + m^2\)

Si una expresión cuadrática es de la forma \(ax^2 + bx + c\), entonces:

  • el valor de \(a\) es \(k^2\)
  • el valor de \(b\) es \(2km\)
  • el valor de \(c\) es \(m^2\)

Podemos usar este patrón como ayuda para completar el cuadrado y solucionar ecuaciones en las que el coeficiente del término cuadrático \(x^2\) no es 1 (por ejemplo, \(16x^2 + 40x = 11\)).

¿Qué término constante \(c\) podemos sumar para hacer que la expresión que está al lado izquierdo del signo igual sea un cuadrado perfecto?, ¿y cómo escribimos esta expresión como un factor al cuadrado?

  • 16 es \(4^2\), así que el factor al cuadrado puede ser \((4x + m)^2\).
  • 40 es igual a \(2(4m)\), así que \(2(4m) = 40\) o \(8m=40\). Esto significa que \(m = 5\).
  • Si \(c\) es \(m^2\), entonces \(c = 5^2\) o \(c=25\).
  • Entonces, la expresión \(16x^2 + 40x + 25\) es un cuadrado perfecto y es equivalente a \((4x+5)^2\).

¡Solucionemos la ecuación \(16x^2 + 40x = 11\) completando el cuadrado!

\(\displaystyle \begin {align} 16x^2 + 40x &= 11\\ 16x^2 + 40x + 25 &= 11 + 25\\ (4x + 5)^2 &=36\\\\4x+5 = 6 \quad &\text {o} \quad 4x+5= \text-6\\ 4x = 1 \quad &\text {o} \quad 4x = \text-11\\ x=\frac14 \quad &\text {o} \quad x = \text- \frac{11}{4} \end {align}\).

Entradas del glosario

  • completar el cuadrado

    Completar el cuadrado en una expresión cuadrática significa transformarla en una de la forma \(a(x+p)^2-q\), donde \(a\), \(p\) y \(q\) son constantes.

    Completar el cuadrado en una ecuación cuadrática significa transformarla en una de la forma \(a(x+p)^2=q\).

  • cuadrado perfecto
    Un cuadrado perfecto es una expresión que es igual a algo multiplicado por sí mismo. Con frecuencia nos interesan los casos en los que ese algo es un número racional o una expresión que tiene coeficientes racionales.
  • número racional

    Un número racional es una fracción o el opuesto de una fracción. Recuerda que una fracción es un punto en la recta numérica que se obtiene si dividimos el intervalo unitario en \(b\) partes iguales y encontramos el punto cuya distancia a 0 es \(a\) de estas partes. Siempre podemos escribir una fracción en la forma \(\frac{a}{b}\), donde \(a\) y \(b\) son números enteros y \(b\) no es igual a 0, pero hay otras maneras de escribir fracciones. Por ejemplo, 0.7 es una fracción, ya que es el punto en la recta numérica que se obtiene si dividimos el intervalo unitario en 10 partes iguales y encontramos el punto cuya distancia a 0 es igual a 7 de estas partes. El número 0.7 también lo podemos escribir como \(\frac{7}{10}\).

    Los números \(3\), \(\text-\frac34\) y \(6.7\) son todos números racionales. Los números \(\pi\) y \(\text-\sqrt{2}\) no son números racionales porque no se pueden escribir como fracciones ni como opuestos de fracciones.