Lección 20

Soluciones racionales y soluciones irracionales

  • Pensemos qué tipos de números obtenemos cuando solucionamos ecuaciones cuadráticas.

20.1: ¿Racional o irracional?

Números como -1.7, \(\sqrt{16}\) y \(\frac53\) se conocen como números racionales.

Números como \(\sqrt{12} \text{ y } \sqrt{\frac59}\) se conocen como números irracionales.

Esta es una lista de números. Clasifícalos según sean racionales o irracionales.

  • 97
  • -8.2
  • \(\sqrt5\)
  • \(\text-\frac{3}{7}\)
  • \(\sqrt{100}\)
  • \(\sqrt{\frac94}\)
  • \(\text-\sqrt{18}\)

20.2: Soluciones sospechosamente irracionales

  1. Usa tecnología para graficar cada una de estas ecuaciones cuadráticas. En cada caso, identifica los ceros de la función representada por cada gráfica y di si crees que estos pueden ser racionales o irracionales. Prepárate para explicar tu razonamiento.
    ecuación      ceros      ¿racionales o irracionales?
    \(y=x^2 - 8\)
    \(y=(x-5)^2 - 1\)
    \(y=(x - 7)^2 - 2\)
    \(y=\left( \frac{x}{4} \right)^2 -5\)
  2. Encuentra las soluciones exactas de cada ecuación (no las aproximadas) y muestra tu razonamiento. Después, di si piensas que cada solución es racional o irracional. Prepárate para explicar tu razonamiento.
    1. \(x^2 - 8 = 0\)
    2. \((x - 5)^2 = 1\)
    3. \((x - 7)^2 = 2\)
    4. \(\left( \frac{x}{4} \right)^2 -5=0\)

20.3: Experimentos con números racionales y números irracionales

Esta es una lista de números:

  • \(\displaystyle 2\)
  • \(\displaystyle 3\)
  • \(\displaystyle \frac13\)
  • \(\displaystyle 0\)
  • \(\displaystyle \sqrt2\)
  • \(\displaystyle \sqrt3\)
  • \(\displaystyle \text-\sqrt3\)
  • \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt3}\)

Estas son algunas afirmaciones acerca de las sumas y los productos de distintos tipos de números. Decide si cada afirmación siempre es verdadera, si es verdadera solo para algunos números pero no para otros o si nunca es verdadera.

  1. Sumas:

    1. La suma de dos números racionales es racional.
    2. La suma de un número racional y un número irracional es irracional.
    3. La suma de dos números irracionales es irracional.

  2. Productos:

    1. El producto de dos números racionales es racional.
    2. El producto de un número racional y un número irracional es irracional.
    3. El producto de dos números irracionales es irracional.

Experimenta con sumas y productos de dos números de la lista anterior para ayudarte a decidir.



Puede ser bien difícil demostrar que un número es irracional. Para hacerlo, tenemos que explicar por qué es imposible escribir el número como un cociente de dos números enteros. A los matemáticos les tomó miles de años demostrar que \(\pi\) es irracional y aún no saben si \(\pi^{\pi}\) es irracional o no.

Esta es una manera de demostrar que \(\sqrt{2}\) no puede ser racional y, por lo tanto, es irracional.

  • Supongamos que \(\sqrt{2}\) fuera racional y se pudiera escribir como una fracción \(\frac{a}{b}\), donde \(a\) y \(b\) son enteros distintos de 0.
  • Supongamos también que \(a\) y \(b\) son enteros que ya no tienen factores en común, aparte de 1. Por ejemplo, para expresar 0.4 como \(\frac {a}{b}\), escribimos \(\frac25\) en lugar de \(\frac{4}{10}\) o \(\frac {200}{500}\). Es decir, suponemos que \(a\) y \(b\) son 2 y 5, en lugar de suponer que son 4 y 10, o que son 200 y 500.
  1. Si \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), entonces \(2 = \frac {\boxed{\phantom{300}}}{\boxed{\phantom{300}}}\).
  2. Explica por qué \(a^2\) debe ser un número par.
  3. Explica por qué si \(a^2\) es un número par, entonces \(a\) es también un número par. (Si tienes dificultades, puedes elevar al cuadrado varios números enteros).
  4. Como \(a\) es un número par, entonces \(a\) es 2 veces otro entero que llamaremos \(k\). Así, podemos escribir \(a=2k\). Ahora, reemplaza \(a\) por \(2k\) en la ecuación que escribiste para responder la primera pregunta. Después, despeja \(b^2\).
  5. Explica por qué la ecuación que obtienes muestra que \(b^2\) y, por lo tanto, \(b\) también son números pares.
  6. Acabamos de llegar a la conclusión de que \(a\) y \(b\) son números pares, pero dada nuestra suposición sobre \(a\) y \(b\), es imposible que esta conclusión sea verdadera. Explica por qué.

Si \(a\) y \(b\) no pueden ser ambos pares, entonces \(\sqrt{2}\) debe ser igual a algún número que no sea de la forma \(\frac{a}{b}\).

Como nuestra suposición inicial de que podíamos escribir \(\sqrt{2}\) como una fracción \(\frac{a}{b}\) nos llevó a una conclusión falsa, esa suposición debe ser falsa. En otras palabras, no es posible escribir \(\sqrt{2}\) como una fracción. ¡Esto significa que \(\sqrt{2}\) es irracional!

Resumen

Las soluciones de las ecuaciones cuadráticas pueden ser números racionales o números irracionales. Recordemos que:

  • Los números racionales son todas las fracciones y sus opuestos. Algunos ejemplos son: 12, -3, \(\frac53, \sqrt{25}\), -4.79 y \(\sqrt\frac{9}{16}\) . (\(\sqrt{25}\) es una fracción porque es igual a \(\frac51\). El número -4.79 es el opuesto de 4.79, que es \(\frac{479}{100}\)).
  • Cualquier número que no sea racional es irracional. Algunos ejemplos son: \(\sqrt2, \pi, \text-\sqrt5\) y \(\sqrt{\frac72}\). Cuando un número irracional se escribe usando dígitos decimales, sus dígitos no terminan ni siguen un patrón que se repite a partir de cierto punto. Por esto, un número decimal solo puede dar el valor aproximado de un número irracional.

¿Cómo sabemos si las soluciones de una ecuación cuadrática son racionales o irracionales?

Si solucionamos una ecuación cuadrática \(ax^2+bx+c=0\) graficando su función correspondiente (\(y=ax^2+bx+c\)), a veces podemos saberlo a partir de las coordenadas \(x\) de las intersecciones con el eje \(x\). Otras veces, no podemos estar seguros.

Solucionemos \(x^2-\frac{49}{100}=0\) y \(x^2-5=0\) graficando \(y=x^2-\frac{49}{100}\) y \(y=x^2-5\).

Graphs of two quadratic functions on a grid.

La gráfica de \(y=x^2-\frac{49}{100}\) cruza el eje \(x\) en -0.7 y 0.7. No hay dígitos después del 7, lo que nos dice que los valores de \(x\) son exactamente \(\text-\frac{7}{10}\) y \(\frac{7}{10}\), que son números racionales.

Para comprobar que estos números son soluciones exactas de la ecuación, podemos ver si hacen que la ecuación original sea verdadera.

\((0.7)^2-\frac{49}{100}=0\) y \((\text-0.7)^2-\frac{49}{100}=0\), así que \(\pm 0.7\) son soluciones exactas.

La gráfica de \(y=x^2-5\), que se hizo con tecnología para graficar, parece cruzar el eje \(x\) en -2.236 y en 2.236. No es claro si las coordenadas \(x\) tienen solo tres dígitos decimales o si tienen más. Si estos dígitos terminan o si en algún momento forman un patrón que se repite, las soluciones serán racionales. Si no terminan o si nunca forman un patrón que se repite, las soluciones serán irracionales.

En todo caso, podemos reconocer que 2.236 no es una solución exacta de la ecuación. Cuando reemplazamos \(x\) por 2.236 en la ecuación original, obtenemos \(2.236^2-5\): podemos notar que este valor es cercano a 0 pero no exactamente igual a 0. Esto significa que las soluciones \(\pm2.236\) no son exactas y que puede que las soluciones sean números irracionales.

Para saber con certeza si las soluciones son racionales o son irracionales, podemos solucionar las ecuaciones.

  • Las soluciones de \(x^2-\frac{49}{100}=0\) son \(\pm 0.7\), que son racionales.
  • Las soluciones de \(x^2-5=0\) son \(\pm \sqrt5\), que son irracionales. (2.236 es un valor aproximado de \(\sqrt5\), pero no es igual a \(\sqrt5\)).

¿Qué ocurre con una solución como \(\text-4 + \sqrt 6\), que es la suma de un número racional y un número irracional?, ¿o con una solución como \(\frac15 \sqrt3\), que es el producto de un número racional y un número irracional? ¿Estas soluciones son números racionales o irracionales?

Investigaremos soluciones que son sumas o productos de distintos tipos de números en una próxima lección.

Entradas del glosario

  • fórmula cuadrática

    La fórmula \(x = {\text-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\) que nos da las soluciones de la ecuación cuadrática \(ax^2 + bx + c = 0\), donde \(a\) no es igual a 0.