Lección 17

Este ejemplo muestra un intento de solución de una ecuación cuadrática que no tiene soluciones:

\(\displaystyle \begin {align} (x+3)^2+9 &=0\\ (x+3)^2 &=\text-9\\ x+3 &=\pm \sqrt{\text-9} \end {align}\)

1. Estudia el ejemplo. ¿Cuándo te diste cuenta de que la ecuación no tiene soluciones?
2. Explica cómo sabes que la ecuación \(49+x^2=0\) no tiene soluciones.

Sin graficar, responde cada pregunta. Explica o muestra tu razonamiento.

1. La ecuación \(h(t) = \text-16t^2 + 80t + 64\) representa la altura a la que está una papa, en pies, \(t\) segundos después de lanzarla al aire.

   1. Escribe una ecuación que una vez solucionada nos diga cuándo cae la papa al suelo. Después, soluciona la ecuación.
   2. Escribe una ecuación que, una vez solucionada, nos diga cuándo está la papa a 40 pies del suelo. Después, soluciona la ecuación.

2. La ecuación \(g(t) = 2 + 23.7t - 4.9t^2\) modela la altura a la que está una calabaza, en metros, \(t\) segundos después de lanzarla usando una catapulta.

   1. 8 segundos después de lanzar la calabaza, ¿todavía está en el aire? Explica o muestra cómo lo sabes.
   2. ¿Qué valor de \(t\) corresponde al momento en el que la calabaza toca el suelo? Muestra tu razonamiento.

1. En una lección anterior, intentamos enmarcar una imagen que medía 7 pulgadas por 4 pulgadas. Para armar el marco usamos una hoja de papel completa que medía 4 pulgadas por 2.5 pulgadas. Esta fue una ecuación que escribimos: \((7+ 2x)(4 + 2x) = 38\).

   1. Explica o muestra lo que la ecuación \((7+ 2x)(4 + 2x) = 38\) nos dice sobre la situación y qué significaría solucionarla. Usa el diagrama si necesitas.

      

      

   2. Soluciona la ecuación sin graficar. Muestra tu razonamiento.

2. Imagina que tienes otra imagen que mide 10 pulgadas por 5 pulgadas y la quieres enmarcar usando un papel decorativo que mide 8.5 pulgadas por 4 pulgadas. Al igual que antes, el marco debe tener el mismo grosor en todos los lados y las piezas del marco no deben sobreponerse. ¡Ah, y no debes desperdiciar papel decorativo!

   Determina cuál debe ser el grosor del marco.

Las ecuaciones cuadráticas que representan situaciones no siempre se pueden escribir de manera directa en forma factorizada o no siempre se pueden solucionar fácilmente encontrando raíces cuadradas. Completar el cuadrado es una estrategia viable, pero para algunas ecuaciones cuadráticas, esto puede requerir muchos pasos engorrosos. Hacer gráficas es también un método práctico para solucionar ecuaciones cuadráticas, pero con este no siempre obtenemos soluciones exactas.

Al usar la fórmula cuadrática, podemos solucionar estas ecuaciones de manera más eficiente y con más precisión.

Este es un ejemplo: la función \(h\) modela la altura a la que está un objeto, en metros, \(t\) segundos después de lanzarlo al aire. Esta función está definida por \(h(t)=\text-5t^2+25t\).

Para saber cuánto tiempo tarda el objeto en estar a una altura de 15 metros, podemos solucionar la ecuación \(15=\text-5t^2+25t\). ¿Cómo deberíamos hacerlo?

• Si reescribimos la ecuación en forma estándar, obtenemos \(\text-5t^2+25t-15=0\). Sin embargo, la expresión al lado izquierdo de la ecuación no se puede escribir en forma factorizada.
• Completar el cuadrado no es conveniente porque el coeficiente del término cuadrático no es un cuadrado perfecto y el coeficiente del término lineal es un número impar.
• ¡Usemos la fórmula cuadrática con \(a=\text-5,b=25\text{ y }c=\text-15\)!

Las soluciones nos dicen que hay dos tiempos (después de lanzar el objeto) en los que el objeto está a una altura de 15 metros: aproximadamente 0.7 segundos (cuando el objeto está subiendo) y aproximadamente 4.3 segundos (cuando el objeto está bajando).