Lección 10
Reescribamos expresiones cuadráticas en forma factorizada (parte 4)
- Transformemos expresiones cuadráticas más complicadas en expresiones escritas en forma factorizada.
10.1: Cuál es diferente: Expresiones cuadráticas
¿Cuál es diferente?
A. \((x+4)(x-3)\)
B. \(3x^2-8x+5\)
C. \(x^2-25\)
D. \(x^2+2x+3\)
10.2: Un poco más avanzado
En cada tabla, las dos expresiones de cada fila deben ser equivalentes. Completa las tablas. Si tienes dificultades, puedes dibujar un diagrama.
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forma factorizada forma estándar \((3x+1)(x+4)\) \((3x+2)(x+2)\) \((3x+4)(x+1)\) -
forma factorizada forma estándar \(5x^2+21x+4\) \(3x^2+15x+12\) \(6x^2+19x+10\)
Estas son tres ecuaciones cuadráticas. Cada una tiene dos soluciones. Encuentra las dos soluciones de cada ecuación usando la propiedad de producto cero en alguna parte del proceso. Muestra cada paso de tu razonamiento.
\(x^2=6x\)
\(x(x+4)=x+4\)
\(2x(x-1)+3x-3=0\)
10.3: Tiempo de recorrido de una gota de agua
Un ingeniero diseña una fuente que dispara gotas de agua. El agua se lanza desde una boquilla, a 3 metros del suelo. Cada gota de agua sale a una velocidad vertical de 9 metros por segundo.
La función \(h\) modela la altura en metros, \(h\), a la que está una gota de agua \(t\) segundos después de ser lanzada desde la boquilla. La función está definida por la ecuación \(h(t)=\text-5t^2+9t+3\).
¿Cuántos segundos se demora la gota de agua en caer al suelo?
- Escribe un ecuación que se podría resolver para responder la pregunta.
- Intenta resolver la ecuación escribiendo la expresión en forma factorizada y usando la propiedad de producto cero.
- Intenta resolver la ecuación graficando la función con ayuda de tecnología. Explica cómo encontraste la solución.
10.4: Hagámoslo más simple
Esta es una manera ingeniosa de pensar en las expresiones cuadráticas, que hace que sea más fácil reescribirlas en forma factorizada.
\(9x^2+21x+10 \\\\ (3x)^2+7(3x)+10 \\\\ N^2+7N+10\\\\ (N+2)(N+5) \\\\(3x+2)(3x+5)\)
- Usa la propiedad distributiva para desarrollar \((3x+2)(3x+5)\). Muestra tu razonamiento y escribe en forma estándar la expresión que obtuviste. ¿Es equivalente a \(9x^2+21x+10\)?
- Estudia el método y dale sentido a lo que se hizo en cada paso. Escribe lo que piensas y prepárate para explicarlo.
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Usa el método anterior para reescribir estas expresiones en forma factorizada:
\(4x^2+28x+45\)
\(25x^2-35x+6\)
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Probablemente te diste cuenta de que el coeficiente del término al cuadrado en todos los ejemplos anteriores es un cuadrado perfecto. ¿Qué pasa si ese coeficiente no es un cuadrado perfecto?
Este es un ejemplo de una expresión cuyo término al cuadrado tiene un coeficiente que no es un término al cuadrado.
Usa la propiedad distributiva para desarrollar \((x+3)(5x+2)\). Muestra tu razonamiento y escribe en forma estándar la expresión que obtuviste. ¿Es equivalente a \(5x^2+17x+6\)?
\(5x^2+17x+6 \\\\ \frac15 \boldcdot 5 \boldcdot (5x^2 + 17x + 6)\\\\ \frac15 (25x^2 + 85x + 30) \\\\ \frac15 ((5x)^2 + 17 (5x) + 30)\\\\ \frac15 (N^2 + 17N + 30)\\\\ \frac15 (N+15)(N+2) \\\\ \frac15 (5x+15)(5x+2) \\\\(x+3)(5x+2)\)
- Estudia el método. Dale sentido a lo que se hizo en cada paso y por qué se hizo. Escribe lo que piensas y prepárate para explicarlo.
- Usa el método anterior para reescribir estas expresiones en forma factorizada:
\(3x^2+16x+5\)
\(10x^2-41x+4\)
Resumen
De todas las ecuaciones cuadráticas de la forma \(ax^2 + bx +c=0\), solo algunas se pueden resolver reescribiendo la expresión cuadrática en forma factorizada y usando la propiedad de producto cero. En algunos casos, es muy difícil encontrar los factores correctos de la expresión cuadrática.
Por ejemplo, ¿cuál es la forma factorizada de \(6x^2+11x-35\)?
Sabemos que podría ser \((3x + \boxed{\phantom{30}})(2x+\boxed{\phantom{30}})\) o \((6x+\boxed{\phantom{30}})(x+\boxed{\phantom{30}})\). Sin embargo, no sabemos si los segundos números de cada factor serán -5 y 7, 5 y -7, 35 y -1, o -35 y 1, ni tampoco en qué orden.
Con ensayo y error, podemos tratar de encontrar una expresión equivalente que nos permita resolver la ecuación \(6x^2+11x-35=0\).
Cuando encontremos los factores correctos, podemos usar la propiedad de producto cero para resolver la ecuación, como se muestra:
\(\displaystyle \begin {align} 6x^2+11x-35&=0\\ (3x-5)(2x+7)&=0\\ \end {align}\)
\(\displaystyle \begin {align} 3x-5=0 \quad &\text{o} \quad 2x+7=0\\ x=\frac53 \quad &\text{o} \quad x= \text- \frac72\ \end {align}\)
¡Lo más complicado es que la mayoría de las expresiones cuadráticas no pueden escribirse en forma factorizada!
Por ejemplo, tomemos \(x^2-4x-3\). ¿Puedes encontrar dos números que multiplicados den -3 y sumados den -4? ¡Nop! Al menos no números racionales que sean fáciles de encontrar.
Podemos usar tecnología para graficar la función definida por \(x^2-4x-3\). Vemos que hay dos intersecciones con el eje \(x\), aproximadamente en \((\text-0.646,0)\) y \((4.646,0)\). Estas dan los ceros aproximados de la función, -0.646 y 4.646, que por eso también son soluciones aproximadas de \(x^2-4x-3=0\).
El hecho de que los ceros de esta función no parezcan ser simples números racionales es una pista de que puede que sea imposible reescribir fácilmente la expresión en forma factorizada.
En realidad, reescribir expresiones cuadráticas en forma factorizada y usar la propiedad de producto cero es una herramienta muy limitada para resolver ecuaciones cuadráticas.
En las siguientes lecciones, aprenderemos algunas formas de resolver ecuaciones cuadráticas que funcionan para cualquier ecuación.
Entradas del glosario
- coeficiente
En una expresión algebraica, el coeficiente de una variable es la constante que la está multiplicando. Si la variable aparece sola, entonces se considera como si un 1 la estuviera multiplicando y en este caso el coeficiente es 1.
El coeficiente de \(x\) en la expresión \(3x + 2\) es \(3\). El coeficiente de \(p\) en la expresión \(5 + p\) es 1.
- propiedad de producto cero
La propiedad de producto cero dice que si el producto de dos números es igual a 0, entonces uno de los números debe ser igual a 0.
- término constante
En una expresión como \(5x + 2\), el número 2 se llama el término constante porque es la parte de la expresión que no cambia cuando \(x\) cambia.
En la expresión \(5x-8\), el término constante es -8, porque podemos reescribir la expresión como \(5x + (\text-8)\). En la expresión \(12x-4\), el término constante es -4.
- término lineal
El término lineal de una expresión cuadrática (escrita en forma estándar) \(ax^2 + bx + c\), donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes, es el término \(bx\). (Si la expresión no está en forma estándar, puede que deba reescribirse primero en forma estándar para encontrar el término lineal).