Lección 5

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa.

3 es la única solución de \(x^2-9=0\).

-5 es una solución de \(x^2+25=0\).

\(x(x-7)=0\) tiene dos soluciones.

5 y -7 son las soluciones de \((x-5)(x+7)=12\).

1. Para resolver la primera ecuación, \((x-5)(x-3)=0\), grafica \(y=(x-5)(x-3)\) y busca las intersecciones de la gráfica con el eje \(x\).

   1. Explica por qué las intersecciones con el eje \(x\) se pueden usar para resolver \((x-5)(x-3)=0\).
   2. ¿Cuáles son las soluciones?

2. Para resolver la segunda ecuación, Han la reescribe como \((x-5)(x-3)+1=0\). Después, grafica \(y=(x-5)(x-3)+1\).

   Usa tecnología para graficar \(y=(x-5)(x-3)+1\). Después, usa la gráfica para resolver la ecuación. Prepárate para explicar cómo usaste la gráfica para resolver la ecuación.
3. Resuelve la tercera ecuación usando la estrategia de Han.

4. Piensa en la estrategia que usaste y en las soluciones que encontraste.

   1. ¿Por qué podría ser útil reorganizar cada ecuación para que un lado fuera igual a 0 y luego graficar la expresión del lado distinto de cero?
   2. ¿Cuántas soluciones tiene cada una de las tres ecuaciones?

Soluciona cada ecuación. Prepárate para explicar o mostrar tu razonamiento.

1. \(x^2=121\)
2. \(x^2-31=5\)
3. \((x-4)(x-4)=0\)
4. \((x+3)(x-1)=5\)
5. \((x+1)^2=\text-4\)
6. \((x-4)(x-1)=990\)

1. Priya cree que si \((x-5)(x+1)=7\) es verdadera, entonces \(x-5=7\) o \(x+1=7\) y, por lo tanto, las soluciones de la ecuación son 12 y 6.

   ¿Estás de acuerdo? Si no es así, ¿cuál es el error en el razonamiento de Priya?

2. Diego dice que para resolver \(x^2 - 10x = 0\), podemos simplemente dividir cada lado entre \(x\) para obtener \(x - 10 = 0\), y que la solución es 10. Mai dice: “Escribí la expresión de la izquierda en forma factorizada, obtuve \(x(x-10) = 0\) y obtuve dos soluciones: 0 y 10”.

   ¿Estás de acuerdo con alguna de las estrategias anteriores? Explica tu razonamiento.

Una ecuación cuadrática puede tener dos soluciones, una solución o ninguna solución.

Para determinar cuántas soluciones tiene una ecuación cuadrática, podemos primero reorganizarla para que quede en la forma \(\text{expresión}=0\). Después, podemos graficar la función definida por la expresión y encontrar los ceros de la función. Veamos algunos ejemplos.

• \(x^2=5x\)

  Primero restamos \(5x\) a cada lado y reescribimos la ecuación de esta manera: \(x^2-5x=0\). Para resolver esta ecuación, podemos pensar en encontrar los ceros de la función definida por \(x^2-5x\).

  Si la salida de esta función es \(y\), podemos graficar \(y=x^2-5x\) e identificar dónde la gráfica se interseca con el eje \(x\), es decir, dónde la coordenada \(y\) es \(0\).

  

  

  A partir de la gráfica, podemos ver que los puntos en los que la gráfica interseca el eje \(x\) son \((0,0)\) y \((5,0)\), así que \(x^2-5x\) es igual a 0 cuando \(x\) es 0 y cuando \(x\) es 5.

  A partir de la gráfica, podemos ver fácilmente que la ecuación tiene dos soluciones.

Observa que la ecuación \(x^2=5x\) se puede resolver sin graficar, pero tenemos que tener cuidado de no dividir ambos lados entre \(x\). Si lo hacemos, obtendríamos \(x=5\), ¡pero perderíamos la pista de la otra solución, \(x=0\)!

Aunque dividir ambos lados entre el mismo valor suele aceptarse para resolver ecuaciones, evitamos dividir entre la misma variable porque se podría eliminar una solución.

• \((x-6)(x-4)=\text-1\)

  Reescribamos la ecuación como \((x-6)(x-4)+1=0\) y pensemos que esta representa una función definida por \((x-6)(x-4)+1\), cuya salida, \(y\), es 0.

  Grafiquemos \(y=(x-6)(x-4)+1\) e identifiquemos las intersecciones con el eje \(x\).

  

  

  La gráfica muestra una intersección con el eje \(x\) en \((5,0)\). Esto nos dice que la función definida por \((x-6)(x-4)+1\) tiene solo un cero.

  Esto también significa que la ecuación \((x-6)(x-4)+1=0\) solo es verdadera cuando \(x=5\). La única solución de la ecuación es 5.

• \((x-3)(x-3)=\text-4\)

  Si reorganizamos la ecuación, obtenemos \((x-3)(x-3)+4=0\).

  Grafiquemos \(y=(x-3)(x-3)+4\) y encontremos las intersecciones con el eje \(x\).

  

  

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  La gráfica no interseca al eje \(x\), así que no hay intersecciones con el eje \(x\).

  Esto significa que no hay valores de \(x\) que puedan hacer que la expresión \((x-3)(x-3)+4\) sea igual a 0, así que la función definida por \(y=(x-3)(x-3)+4\) no tiene ceros.

  La ecuación \((x-3)(x-3)=\text-4\) no tiene soluciones.

  Podemos darnos cuenta de que esto es verdadero sin graficar. \((x-3)(x-3) = \text-4\) es lo mismo que \((x-3)^2=\text-4\). Dado que ningún número elevado al cuadrado da como resultado un valor negativo, la ecuación no tiene soluciones.

Anteriormente, aprendimos que graficar no siempre es la forma más confiable de encontrar soluciones precisas. Esto también aplica en este caso. Las intersecciones con el eje \(x\) de una gráfica no siempre son valores enteros. La gráfica puede darnos una idea de cuántas soluciones hay y de cuáles pueden ser los valores (o al menos una aproximación), pero para obtener las soluciones exactas tenemos que seguir apoyándonos en métodos de solución algebraicos.