Lección 9

Intenta encontrar al menos una solución de \(x^2-2x-35=0\).

1. Escoge un número entero entre 0 y 10.
2. Reemplaza \(x\) por el número que escogiste y evalúa la expresión \(x^2-2x-35\).
3. Si con tu número no obtienes un valor de 0, busca a alguien de tu clase que haya elegido un número que hace que la expresión sea igual a 0. ¿Cuál número es?
4. Hay otro número que hace que la expresión \(x^2-2x-35\) sea igual a 0. ¿Puedes encontrarlo?

1. Para resolver la ecuación \(n^2 - 2n=99\), Tyler siguió estos pasos. Analízalos y escribe lo que hizo Tyler en cada paso.

   \(\begin {align} n^2-2n&= 99 &\qquad&\text{Ecuación original}\\\\n^2-2n-99&=0 &\qquad &\text{Paso 1}\\\\ (n-11)(n+9)&=0 &\qquad&\text{Paso 2} \\\\ n-11=0 \quad \text{o} \quad &n+9=0 &\qquad& \text{Paso 3}\\\\ n=11 \quad \text{o} \quad &n=\text-9 &\qquad&\text{Paso 4} \end {align} \)

2. Resuelve cada ecuación reescribiéndola en forma factorizada y usando la propiedad de producto cero. Muestra tu razonamiento.

   1. \(x^2+8x+15=0\)

   2. \(x^2-8x+12=5\)

   3. \(x^2-10x-11=0\)

   4. \(49-x^2=0\)

   5. \((x+4)(x+5)-30=0\)

1. El otro día, vimos que una ecuación cuadrática puede tener 0, 1 o 2 soluciones. Dibuja gráficas que representen tres funciones cuadráticas: una que no tenga ceros, una que tenga 1 cero y una que tenga 2 ceros.
2. Usa tecnología para graficar la función definida por \(f(x) = x^2 - 2x + 1\). ¿Qué observas acerca de las intersecciones de la gráfica con el eje \(x\)? ¿Qué revelan las intersecciones con el eje \(x\) acerca de la función?
3. Resuelve \(x^2 - 2x +1 = 0\) usando la forma factorizada y la propiedad de producto cero. Muestra tu razonamiento. ¿Qué soluciones obtuviste?
4. Escribe una ecuación que represente otra función cuadrática que creas que solo tendrá un cero. Grafícala para revisar tu predicción.

Hace poco aprendimos estrategias para manipular expresiones en forma estándar y transformarlas en expresiones en forma factorizada. En lecciones anteriores, también vimos que cuando una expresión cuadrática está escrita en forma factorizada, es muy fácil encontrar valores de la variable que hacen que la expresión sea igual a cero. Supongamos que estamos resolviendo la ecuación \(x(x+4)=0\), que dice que el producto de \(x\) y \(x+4\) es 0. Por la propiedad de producto cero, sabemos que esto significa que \(x=0\) o \(x+4=0\) y, por lo tanto, 0 y -4 son soluciones.

Estas dos habilidades juntas —escribir expresiones cuadráticas en forma factorizada y usar la propiedad de producto cero cuando una expresión factorizada es igual a 0— nos permiten resolver ecuaciones cuadráticas que están dadas en otras formas. Este es un ejemplo:

\(\displaystyle \begin {align} n^2-4n &= 140 &\qquad& \text{Ecuación original}\\n^2-4n-140 & =0 &\qquad& \text{Restar 140 a cada lado para que el lado derecho sea 0}\\ (n-14)(n+10) &= 0 &\qquad& \text{Reescribir la expresión en forma factorizada} \\ \\n-14=0 \quad \text{o} \quad &n+10=0 &\qquad& \text {Aplicar la propiedad de producto cero} \\ n=14 \quad \text{o} \quad &n=\text-10 &\qquad& \text{Resolver cada ecuación}\end{align}\)

Cuando una ecuación cuadrática se escribe en la forma \(\text {expresión en forma factorizada} = 0\), también podemos ver el número de soluciones que tiene la ecuación.

En el ejemplo anterior, no era evidente cuántas soluciones había solo con ver la ecuación \(n^2-4n-140=0\). Cuando la ecuación se reescribió como \((n-14)(n+10) =0\), pudimos ver que había dos números que podían hacer que la expresión a la izquierda fuera igual a 0: \(n=14\) y \(n=-10\).

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación \(x^2-20x+100=0\)?

Reescribámosla en forma factorizada: \((x-10)(x-10)=0\). Los dos factores son idénticos, lo que significa que solo hay un valor de \(x\) que hace que la expresión \((x-10)(x-10)\) sea igual a 0. La ecuación solo tiene una solución: \(x=10\).