Lección 8

Reescribamos expresiones cuadráticas en forma factorizada (parte 3)

  • Examinemos de cerca algunos tipos especiales de factores.

8.1: Conversación matemática: Productos de números relativamente grandes

Encuentra mentalmente cada producto.

\(9 \boldcdot 11\)

\(19 \boldcdot 21\)

\(99 \boldcdot 101\)

\(109\boldcdot101\)

8.2: ¿Podemos escribir productos como diferencias?

  1. Clare afirma que \((10+3)(10-3)\) es equivalente a \(10^2 - 3^2\) y \((20+1)(20-1)\) es equivalente a \(20^2-1^2\). ¿Estás de acuerdo? Muestra tu razonamiento.
    1. Usa lo que observaste al responder la primera pregunta y evalúa \((100+5)(100-5)\). Muestra tu razonamiento.
    2. Calcula \(105 \boldcdot 95\) para comprobar tu respuesta.

  3. ¿Es \((x+4)(x-4)\) equivalente a \(x^2-4^2\)? Justifica tu respuesta:

    Con un diagrama:

      \(x\)     \(4\)  
      \(x\)                        
      \(\text-4\)  

    Sin un diagrama:

  4. ¿Es \((x+4)^2\) equivalente a \(x^2+4^2\)? Justifica tu respuesta con o sin un diagrama.


  1. Explica cómo te puede ayudar lo que hiciste en las preguntas anteriores a calcular mentalmente \(22 \boldcdot 18\) y \(45 \boldcdot 35\).

  2. Este atajo se puede usar para elevar mentalmente al cuadrado cualquier número de dos dígitos. Por ejemplo, tomemos \(83^2\).

    • 83 es \(80+3\).
    • Se calcula \(80^2\) y \(3^2\), que dan 6,400 y 9 respectivamente. Se suman estos valores y se obtiene 6,409.
    • Se calcula \(80 \boldcdot 3\), que es 240. Se duplica y se obtiene 480.
    • Se suman 6,409 y 480, y se obtiene 6,889.
    Intenta usar este método para encontrar los cuadrados de otros números de dos dígitos. (¡Con la práctica, es posible volverse muy rápido en esto!). Después, explica por qué funciona este método.

8.3: ¿Qué pasa si no hay término lineal?

Cada fila de la tabla debe tener un par de expresiones equivalentes.

Completa la tabla.

Si tienes dificultades, puedes dibujar un diagrama. (Ten cuidado: hay una fila que no se puede completar).

forma factorizada forma estándar
\((x-10)(x+10)\)
\((2x+1)(2x-1)\)
\((4-x)(4+x)\)
\(x^2-81\)
\(49-y^2\)
\(9z^2-16\)
\(25t^2-81\)
\((c + \frac25)(c-\frac25)\)
\(\frac{49}{16}-d^2\)
\((x+5)(x+5)\)
\(x^2-6\)
\(x^2+100\)

 

Resumen

A veces, las expresiones escritas en forma estándar no tienen un término lineal. Aún así, ¿pueden escribirse en forma factorizada?

Tomemos \(x^2-9\) como ejemplo. Para ayudarnos a escribir esta expresión en forma factorizada, podemos pensar que esta tiene un término lineal con un coeficiente de 0: \(x^2 + 0x -9\). (La expresión \(x^2+0x-9\) es equivalente a \(x^2-9\) porque 0 veces cualquier número es 0, así que \(0x\) es 0).

Sabemos que necesitamos encontrar dos números que multiplicados den -9 y sumados den 0. Los números 3 y -3 cumplen ambos requisitos, así que la forma factorizada es \((x+3)(x-3)\).

Para comprobar que esta expresión es en realidad equivalente a \(x^2-9\), podemos desarrollar la expresión factorizada aplicando la propiedad distributiva: \((x+3)(x-3) = x^2 -3x + 3x + (\text-9)\). Al sumar \(\text-3x\) y \(3x\) obtenemos 0, así que la expresión desarrollada es \(x^2-9\).

En general, una expresión cuadrática que es una diferencia de dos cuadrados y tiene esta forma: 

\(a^2-b^2\)

se puede escribir así:

\(\displaystyle (a+b)(a-b)\)

Este es un ejemplo más complicado: \(49-16y^2\). Esta expresión se puede escribir como \(7^2-(4y)^2\). Por ello, una expresión equivalente escrita en forma factorizada es \((7+4y)(7-4y)\).

¿Qué podemos hacer con \(x^2+9\)? ¿Puede escribirse en forma factorizada?

Pensemos en esta expresión como \(x^2+0x+9\). ¿Podemos encontrar dos números que multiplicados den 9 y que sumados den 0? Estos son las parejas de factores de 9 y sus sumas:

  • 9 y 1, suma: 10
  • -9 y -1, suma: -10
  • 3 y 3, suma: 6
  • -3 y -3, suma: -6

Para que dos números distintos de 0 sumen 0, estos deben ser opuestos (uno negativo y uno positivo). Sin embargo, al multiplicar una pareja de opuestos no se puede obtener +9, porque multiplicar un número negativo por un número positivo siempre da un producto negativo.

Dado que no hay dos números que multiplicados den 9 y sumados den 0, no es posible escribir \(x^2+9\) en forma factorizada usando los tipos de números que conocemos.

Entradas del glosario

  • coeficiente

    En una expresión algebraica, el coeficiente de una variable es la constante que la está multiplicando. Si la variable aparece sola, entonces se considera como si un 1 la estuviera multiplicando y en este caso el coeficiente es 1.

    El coeficiente de \(x\) en la expresión \(3x + 2\) es \(3\). El coeficiente de \(p\) en la expresión \(5 + p\) es 1.

  • propiedad de producto cero

    La propiedad de producto cero dice que si el producto de dos números es igual a 0, entonces uno de los números debe ser igual a 0.

  • término constante

    En una expresión como \(5x + 2\), el número 2 se llama el término constante porque es la parte de la expresión que no cambia cuando \(x\) cambia.

    En la expresión \(5x-8\), el término constante es -8, porque podemos reescribir la expresión como \(5x + (\text-8)\). En la expresión \(12x-4\), el término constante es -4.

  • término lineal

    El término lineal de una expresión cuadrática (escrita en forma estándar) \(ax^2 + bx + c\), donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes, es el término \(bx\). (Si la expresión no está en forma estándar, puede que deba reescribirse primero en forma estándar para encontrar el término lineal).