Lección 11

¿Qué son los cuadrados perfectos?

  • Comprendamos cómo los cuadrados perfectos hacen que algunas ecuaciones sean más fáciles de resolver.

11.1: Ese algo que elevamos al cuadrado

En cada ecuación, ¿por qué expresión se puede reemplazar \(a\) de manera que la ecuación sea verdadera para todos los valores de \(x\)?

  1. \(x^2 = a^2\)
  2. \((3x)^2=a^2\)
  3. \(a^2=7x \boldcdot 7x\)
  4. \(25x^2=a^2\)
  5. \(a^2=\frac14 x^2\)
  6. \(a^2=(x+1)^2\)
  7. \((2x-9)(2x-9)=a^2\)

11.2: Cuadrados perfectos en diversas formas

  1. Cada expresión está escrita como el producto de factores. Escribe una expresión equivalente que esté escrita en forma estándar.
    1. \((3x)^2\)
    2. \(7x \boldcdot 7x\)
    3. \((x+4)(x+4)\)
    4. \((x+1)^2\)
    5. \((x-7)^2\)
    6. \((x+n)^2\)
  2. ¿Por qué crees que cada una de estas expresiones se puede considerar un cuadrado perfecto?

    \(x^2+6x+9 \qquad x^2-16x+64 \qquad x^2+\frac13 x + \frac{1}{36}\)



Escribe cada expresión en forma factorizada.

  1. \(x^4-30x^2+225\)
  2. \(x+14\sqrt{x}+49\)
  3. \(5^{2x}+6 \boldcdot 5^x + 9\)

11.3: Dos métodos

Han y Jada solucionaron la misma ecuación usando métodos diferentes.

El método de Han:

\(\displaystyle \begin {align} (x-6)^2&=25\\(x-6)(x-6)&=25 \\x^2-12x+36&=25\\ x^2-12x+11&=0\\(x-11)(x-1)&=0\\ \\x=11 \quad \text{o} \quad x&=1 \end{align}\)

El método de Jada:

\(\displaystyle \begin {align} (x-6)^2&=25\\ \\x-6=5 \quad &\text{o} \quad x-6=\text-5\\ x=11 \quad &\text{o} \quad x=1 \end{align}\)

Soluciona estas ecuaciones con un compañero. Para cada ecuación, un compañero usa el método de Han y el otro compañero usa el método de Jada. Asegúrense de que ambos obtengan las mismas soluciones de cada ecuación. Si no, trabajen juntos para encontrar los errores.

\((y-5)^2=49\)

\((x+4)^2=9\)

\((z+\frac13)^2=\frac49\)

\((v - 0.1)^2=0.36\)

Resumen

Estos son algunos ejemplos de cuadrados perfectos:

  • 49, porque 49 es \(7 \boldcdot 7\) o \(7^2\).
  • \(81a^2\), porque es equivalente a \((9a)\boldcdot(9a)\) o \((9a)^2\).
  • \((x+5)^2\), porque es equivalente a \((x+5)(x+5)\).
  • \(x^2-12x+36\), porque es equivalente a \((x-6)^2\) o \((x-6)(x-6)\).

Un cuadrado perfecto es una expresión que es igual a algo multiplicado por sí mismo. Por lo general, estamos interesados en situaciones en las que ese algo es un número racional o una expresión con coeficientes racionales.

Cuando las expresiones que son cuadrados perfectos se escriben en forma factorizada y en forma estándar, existe un patrón predecible.

  • \((x+5)(x+5)\) es equivalente a \(x^2+10x+25\).
  • \((x-6)^2\) es equivalente a \(x^2-12x+36\).
  • \((x-9)^2\) es equivalente a \(x^2-18x+81\).

En general, \((x+n)^2\) es equivalente a \(x^2+(2n)x+n^2\).

Las ecuaciones cuadráticas que están escritas en la forma \(\text {un cuadrado perfecto} = \text {otro cuadrado perfecto}\) se pueden resolver de una manera fácil. Este es un ejemplo:

\(\displaystyle \begin {align} x^2 - 18x + 81 &= 25 \\(x-9)(x-9) &=25\\ (x - 9)^2 &= 25 \end {align}\)

Ahora la ecuación dice: al elevar \((x-9)\) al cuadrado obtenemos 25. Esto significa que \((x-9)\) debe ser 5 o -5.

\(\displaystyle \begin {align} x-9=5 \quad & \text{o} \quad x-9=\text-5\\ x=14 \quad & \text{o} \quad x=4 \end {align}\)

Entradas del glosario

  • cuadrado perfecto
    Un cuadrado perfecto es una expresión que es igual a algo multiplicado por sí mismo. Con frecuencia nos interesan los casos en los que ese algo es un número racional o una expresión que tiene coeficientes racionales.
  • número racional

    Un número racional es una fracción o el opuesto de una fracción. Recuerda que una fracción es un punto en la recta numérica que se obtiene si dividimos el intervalo unitario en \(b\) partes iguales y encontramos el punto cuya distancia a 0 es \(a\) de estas partes. Siempre podemos escribir una fracción en la forma \(\frac{a}{b}\), donde \(a\) y \(b\) son números enteros y \(b\) no es igual a 0, pero hay otras maneras de escribir fracciones. Por ejemplo, 0.7 es una fracción, ya que es el punto en la recta numérica que se obtiene si dividimos el intervalo unitario en 10 partes iguales y encontramos el punto cuya distancia a 0 es igual a 7 de estas partes. El número 0.7 también lo podemos escribir como \(\frac{7}{10}\).

    Los números \(3\), \(\text-\frac34\) y \(6.7\) son todos números racionales. Los números \(\pi\) y \(\text-\sqrt{2}\) no son números racionales porque no se pueden escribir como fracciones ni como opuestos de fracciones.