Lección 2

La expresión \(12t + 2.50\) representa el costo total de comprar \(t\) boletos para una obra de teatro. Responde las preguntas y prepárate para explicar tus respuestas.

1. Una familia pagó \$62.50 por los boletos. ¿Cuántos boletos compró?
2. Una profesora pagó \$278.50 por los boletos de sus estudiantes. ¿Cuántos boletos compró?

El otro día, viste una ecuación que define la altura de una papa como función del tiempo, después de ser lanzada usando un artefacto mecánico. Esta es otra función que modela la altura de una papa, en pies, \(t\) segundos después que se dispara usando otro artefacto:

\(\displaystyle f(t) = \text-16t^2 + 80t + 64\)

1. ¿Qué ecuación podemos resolver para encontrar el tiempo en el que la papa toca el suelo?
2. Usa cualquier método, excepto graficar, para encontrar una solución de esta ecuación.

Las expresiones \(p(200-5p)\) y \(\text-5p^2 + 200p\) definen la misma función. La función modela los ingresos que se obtendrían en una escuela por vender boletos para una rifa a \(p\) dólares cada uno.

1. ¿Con qué precio o precios la escuela obtendría \$0 de ingresos por la venta de boletos? Explica o muestra tu razonamiento.
2. Los empleados de la escuela se dan cuenta de que hay dos precios de los boletos con los que se obtendrían \$500 de ingresos. ¿Cómo descubrirías cuáles son esos dos precios?

Una papa se lanza usando un artefacto mecánico. La altura a la que está la papa \(x\) segundos después de ser lanzada se puede modelar con una función \(g\). Estas dos expresiones son equivalentes y ambas definen la función \(g\):

Observa que una expresión está escrita en forma estándar y la otra está escrita en forma factorizada.

Supongamos que queremos saber, sin graficar la función, el tiempo \(x\) en el que la papa toca el suelo. Sabemos que el valor de la función en ese tiempo es 0, así que podemos escribir:

Tratemos de resolver \(\text-16x^2+80x+96 = 0\). Usemos algunas movidas que conocemos. Por ejemplo:

Parece que con estos pasos no estamos más cerca de encontrar una solución. ¡Necesitamos movidas nuevas!

¿Qué tal si usamos la otra ecuación?, ¿podemos encontrar las soluciones de \(\text-16(x-6)(x+1)=0\)?

Ya aprendimos antes que los ceros de una función cuadrática se pueden identificar cuando la expresión que define la función está escrita en forma factorizada. Las soluciones de \(\text-16(x-6)(x+1)=0\) son los ceros de la función \(g\), ¡entonces esta forma puede ser más útil! Podemos razonar así:

• Si \(x\) es 6, el valor de \(x-6\) es 0, entonces el valor de toda la expresión es 0.
• Si \(x\) es -1, el valor de \(x+1\) es 0, entonces el valor de toda la expresión es 0.

Esto nos dice que 6 y -1 son las soluciones de la ecuación y que la papa toca el suelo cuando el tiempo es 6 segundos. (Un valor negativo de tiempo no tiene sentido, así que podemos descartar el -1).

Las dos ecuaciones que vimos son ecuaciones cuadráticas. En general, una ecuación cuadrática es una ecuación que se puede expresar como \(ax^2+bx+c=0\), donde \(a\) es distinto de cero. 

En próximas lecciones, aprenderemos cómo reescribir ecuaciones cuadráticas para que las soluciones sean fáciles de ver.