Lección 18
Apliquemos la fórmula cuadrática (parte 2)
- Usemos la fórmula cuadrática y solucionemos ecuaciones cuadráticas con cuidado.
18.1: Pedazos y pedacitos
Evalúa cada expresión cuando \(a=9\), \(b=\text-5\) y \(c=\text-2\).
- \(\text-b\)
- \(b^2\)
- \(b^2-4ac\)
- \(\text-b \pm \sqrt{a}\)
18.2: Usemos la fórmula con cuidado
Estas son cuatro ecuaciones junto con cuatro intentos de solución en los que se usa la fórmula cuadrática. En cada intento hay al menos un error.
- Soluciona una o dos ecuaciones usando la fórmula cuadrática.
- Encuentra y describe el error o los errores que hay en el intento de solución de cada ecuación que solucionaste.
Ecuación 1: \(\quad 2x^2 + 3 = 8x\)
Ecuación 2: \(\quad x^2 + 3x = 10\)
Ecuación 3: \(\quad 9x^2-2x-1 = 0\)
Ecuación 4: \(\quad x^2 - 10x + 23 = 0\)
Estos son los intentos de solución que tienen errores:
Ecuación 1: \(\quad 2x^2 + 3 = 8x\)
\(a=2,\, b= \text-8,\, c=3\)
\(\displaystyle \begin {align} x&=\frac{\text-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} &\quad& \text { }\\x&=\frac{\text-(\text-8) \pm \sqrt{(\text-8)^2-4(2)(3)}}{2(2)}\\ x&=\frac{8 \pm \sqrt{64-24}}{4}\\x&=\frac{8 \pm \sqrt{40}}{4}\\x &=2 \pm \sqrt{10} \end {align}\)
Ecuación 2: \(\quad x^2 + 3x = 10\)
\(a = 1,\,b = 3,\, c = 10\)
\(\displaystyle \begin {align} x&=\frac{\text-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x&=\frac{\text-3 \pm \sqrt{3^2-4(1)(10)}}{2(1)}\\ x&=\frac{\text-3 \pm \sqrt{9-40}}{2}\\ x&=\frac{\text-3 \pm \sqrt{\text-31}}{2}\\ &\text{No hay soluciones} \end{align}\)
Ecuación 3: \(\quad 9x^2-2x-1=0\)
\(a = 9,\,b = \text-2,\, c = \text-1\)
\(\displaystyle \begin {align} x&=\frac{\text-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x&=\frac{2 \pm \sqrt{(\text-2)^2-4(9)(\text-1)}}{2}\\ x&=\frac{2 \pm \sqrt{4+36}}{2}\\x&=\frac{2 \pm \sqrt{40}}{2} \end{align}\)
Ecuación 4: \(\quad x^2 - 10x + 23 = 0\)
\(a = 1,\,b = \text-10,\, c = 23\)
\(\displaystyle \begin {align} x&=\frac{\text-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x&=\frac{\text-10 \pm \sqrt{(\text-10)^2-4(1)(23)}}{2}\\ x&=\frac{\text-10 \pm \sqrt{\text-100-92}}{2}\\ x&=\frac{\text-10 \pm \sqrt{\text-192}}{2}\\ &\text{No hay soluciones} \end{align}\)
18.3: ¿Estás seguro?
-
La ecuación \(h(t) = 2 + 30t - 5t^2\) representa la altura a la que está una calabaza que se lanzó al aire usando una catapulta, como función del tiempo desde que fue lanzada. La altura se mide en metros y el tiempo se mide en segundos.
- La calabaza alcanzó una altura máxima de 47 metros. ¿Cuántos segundos después de lanzarla ocurrió esto? Muestra tu razonamiento.
- Supongamos que alguien no está convencido de tu solución. Encuentra otra manera (además de los pasos que ya seguiste) de mostrar que tu solución es correcta.
-
La ecuación \(r(p) = 80p - p^2\) modela los ingresos que esperan recibir los integrantes de una banda, en un concierto, como función del precio de cada boleto, \(p\). El precio de cada boleto y los ingresos están en dólares.
Un integrante de la banda dice que si venden cada boleto a \$15.50 o si venden cada boleto a \$74.50, obtendrán alrededor de \$1,000 en ingresos. ¿Estás de acuerdo? Muestra tu razonamiento.
La función \(g\) está definida por la ecuación \(g(t)=2+ 30t-5t^2 - 47\). Su gráfica abre hacia abajo.
- Sin graficar, encuentra los ceros de la función \(g\). Muestra tu razonamiento.
- Explica o muestra cómo los ceros que encontraste nos pueden ayudar a encontrar el vértice de la gráfica de \(g\).
- Estudia las expresiones que definen las funciones \(g\) y \(h\) (la función que definía la altura de la calabaza). Explica por qué saber el máximo de \(h\) nos ayuda a identificar el máximo de \(g\).
Resumen
La fórmula cuadrática tiene muchas partes. Un pequeño error en cualquiera de las partes puede llevar a soluciones incorrectas.
Supongamos que vamos a solucionar la ecuación \(2x^2 -6 =11x\). Para usar la fórmula cuadrática, reescribimos la ecuación en la forma \(ax^2+bx+c=0\) y obtenemos \(2x^2 -11x-6=0\).
Estos son errores comunes que debemos evitar:
- Usar los valores incorrectos de \(a\), \(b\) o \(c\) en la fórmula.
\(x=\dfrac{\text-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(x=\dfrac{\text-11 \pm \sqrt{(\text-11)^2-4(2)(\text-6)}}{2(2)}\)
¡Cuidado! \(b\) es -11, así que \(\text-b\) es \(\text- (\text-11)\), que es 11, no -11.
\(x=\dfrac{11 \pm \sqrt{(\text-11)^2-4(2)(\text-6)}}{2(2)}\)
¡Así está mejor!
- Olvidar que debemos multiplicar 2 por \(a\) en el denominador de la fórmula.
\(x=\dfrac{11 \pm \sqrt{(\text-11)^2-4(2)(\text-6)}}{2}\)
¡Cuidado! El denominador es \(2a\), que es \(2(2)\) o 4.
\(x=\dfrac{11 \pm \sqrt{(\text-11)^2-4(2)(\text-6)}}{2(2)}\)
¡Así está mejor!
- Olvidar que un número negativo elevado al cuadrado da un número positivo.
\(x=\dfrac{11 \pm \sqrt{\text-121-4(2)(\text-6)}}{4}\)
¡Cuidado! \((\text-11)^2\) es 121, no -121.
\(x=\dfrac{11 \pm \sqrt{121-4(2)(\text-6)}}{4}\)
¡Así está mejor!
- Olvidar que un número negativo multiplicado por un número positivo es un número negativo.
\(x=\dfrac{11 \pm \sqrt{121-48}}{4}\)
¡Cuidado! \(4(2)(\text-6)=\text-48\) y \(121-(\text-48)\) es \(121+48\).
\(x=\dfrac{11 \pm \sqrt{121+48}}{4}\)
¡Así está mejor!
- Cometer errores de cálculo o no seguir las propiedades del álgebra.
\(x=\dfrac{11 \pm \sqrt{169}}{4}\)
\(x=11 \pm \sqrt{42.25}\)
¡Cuidado! Ambas partes del numerador (tanto 11 como \(\sqrt {169}\)) se dividen entre 4. Además, es \(\frac{\sqrt{169}}{4}\) y no \(\sqrt{42.25}\).
\(x=\dfrac{11 \pm 13}{4}\)
¡Así está mejor!
\(\displaystyle \begin {align} x&= \dfrac{11 + 13}{4} \qquad&\text{o}& \qquad x= \dfrac{11 - 13}{4} \\ x &=\frac{24}{4} \qquad &\text{o}& \qquad x=\text-\frac24 \\ x&=6 \qquad &\text{o}& \qquad x=\text-\frac12 \end{align}\)
Para asegurarnos de que nuestras soluciones son correctas, podemos reemplazar las soluciones en las ecuaciones originales y verificar si cada solución hace que la ecuación sea verdadera.
\(\displaystyle \begin{align}2x^2 -6 &=11x\\ 2(6)^2 -6 &=11(6)\\ 2(36) -6 &=66\\ 72-6 &= 66\\ 66 &=66 \end {align}\)
\(\begin{align}2x^2 -6 &=11x\\ 2 \left(\text-\frac12\right)^2 -6 &=11 \left(\text-\frac12\right)\\ 2 \left(\frac14\right) -6 &=\text-\frac{11}{2}\\ \frac12 -6 &= \text-5 \frac12\\ \text-5\frac12 &=\text- 5\frac12 \end {align}\)
También podemos graficar la ecuación \(y=2x^2 -11x -6\) y encontrar sus intersecciones con el eje \(x\) para ver si nuestras soluciones de \(2x^2 -11x -6=0\) son exactas (o casi exactas).
Entradas del glosario
- fórmula cuadrática
La fórmula \(x = {\text-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\) que nos da las soluciones de la ecuación cuadrática \(ax^2 + bx + c = 0\), donde \(a\) no es igual a 0.