Lección 21

Estos son ejemplos de números enteros:

• -25
• -10
• -2
• -1
• 0
• 5
• 9
• 40

1. Ensaya sumar dos enteros cualesquiera de la lista (u otros enteros que escojas). Intenta encontrar uno o varios ejemplos de dos enteros tales que:

   1. al sumarlos obtengas otro entero
   2. al sumarlos no obtengas un entero

2. Ensaya multiplicar dos números cualesquiera de la lista (u otros enteros que escojas). Intenta encontrar uno o varios ejemplos de dos enteros tales que:

   1. al multiplicarlos obtengas otro entero
   2. al multiplicarlos obtengas un número que no es un entero

1. Estos son ejemplos de sumas de dos números racionales. ¿Es cada suma un número racional? Prepárate para explicar cómo lo sabes.

   1. \(4 +0.175 = 4.175\)
   2. \(\frac12 + \frac45 = \frac {5}{10}+\frac{8}{10} = \frac{13}{10}\)
   3. \(\text-0.75 + \frac{14}{8} = \frac {\text-6}{8} + \frac {14}{8} = \frac 88 = 1\)
   4. Si \(a\) es un entero: \(\frac 23+ \frac {a}{15} =\frac{10}{15} + \frac {a}{15} = \frac {10+a}{15}\)

2. Esta es una manera de explicar por qué la suma de dos números racionales es racional.

   Supongamos que \(\frac{a}{b}\) y \(\frac{c}{d}\) son racionales. Esto significa que \(a, b, c\) y \(d\) son enteros, y que \(b\) y \(d\) son distintos de 0.

   1. Encuentra la suma de \(\frac{a}{b}\) y \(\frac{c}{d}\). Muestra tu razonamiento. 
   2. En la suma que obtuviste, ¿el numerador y el denominador son enteros? ¿Cómo lo sabes?
   3. Usa tus respuestas para explicar por qué la suma \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\) es un número racional. 
3. Usa la misma manera en la que razonaste en la pregunta anterior para explicar por qué el producto de dos números racionales, \(\frac{a}{b} \boldcdot \frac{c}{d}\), debe ser racional.

1. Esta es una manera de explicar por qué \(\sqrt2 + \frac 19\) es irracional.

   • Llamemos \(s\) a la suma de \( \sqrt2\) y \(\frac 19\), es decir, \(s=\sqrt2 + \frac 19\).

   • Supongamos que \(s\) es racional.

   1. ¿Crees que \(s + \text- \frac19\) es racional o irracional? ¿Por qué lo crees?
   2. Evalúa \(s + \text-\frac19\). ¿Esta suma es racional o irracional?
   3. Usa las respuestas que tienes hasta el momento para explicar por qué \(s\) no puede ser un número racional y, por lo tanto, \( \sqrt2 + \frac 19\) no puede ser un número racional.
2. Usa el mismo razonamiento que usaste para responder la pregunta anterior y explica por qué \(\sqrt2 \boldcdot \frac 19\) es irracional.

1. Considera la ecuación \(4x^2 + bx + 9=0\). En cada caso, encuentra un valor de \(b\) que satisfaga la condición:
   1. La ecuación tiene 2 soluciones racionales.
   2. La ecuación tiene 2 soluciones irracionales.
   3. La ecuación tiene 1 solución.
   4. La ecuación no tiene solución.
2. Describe todos los valores de \(b\) con los que se obtienen 2 soluciones, con los que se obtiene 1 solución y con los que no se obtiene ninguna solución.

3. En cada caso, escribe una ecuación cuadrática que tenga ese tipo y número de soluciones. Prepárate para explicar cómo sabes que tu ecuación es de ese tipo y tiene ese número de soluciones.

   1. no tiene solución
   2. tiene 2 soluciones irracionales
   3. tiene 2 soluciones racionales
   4. tiene 1 solución

Sabemos que las ecuaciones cuadráticas pueden tener soluciones racionales o soluciones irracionales. Por ejemplo, las soluciones de \((x+3)(x-1)=0\) son -3 y 1, que son racionales. Las soluciones de \(x^2-8=0\) son \(\pm \sqrt{8}\), que son irracionales.

En algunas soluciones de ecuaciones se combinan dos números usando la suma o la multiplicación, por ejemplo, \(\pm 4\sqrt{3}\) y \(1 +\sqrt {12}\). ¿Qué tipo de números son estas expresiones?

Cuando sumamos o multiplicamos dos números racionales, ¿el resultado es racional o irracional?

• La suma de dos números racionales es racional. Esta es una manera de explicar por qué esta afirmación es verdadera:

  • Dos números racionales cualesquiera se pueden escribir como \(\frac{a}{b}\) y \(\frac{c}{d}\), donde \(a, b, c \text{ y } d\) son enteros, y \(b\) y \(d\) son distintos de cero.
  • La suma de \(\frac{a}{b}\) y \(\frac{c}{d}\) es \(\frac{ad+bc}{bd}\). El denominador no es cero porque ni \(b\) ni \(d\) son cero.
  • Cuando se multiplican o se suman dos números enteros, siempre se obtiene un número entero. Por lo tanto, sabemos que \(ad, bc, bd\) y \(ad+bc\) son todos números enteros.
  • Si el numerador y el denominador de \(\frac{ad+bc}{bd}\) son números enteros, entonces este número es racional.

• El producto de dos números racionales es racional. De una manera similar a la anterior, podemos demostrar por qué esta afirmación es verdadera:

  • Dados dos números racionales cualesquiera \(\frac{a}{b}\) y \(\frac{c}{d}\), donde \(a, b, c \text{ y } d\) son enteros, y \(b\) y \(d\) son distintos de cero, su producto es \(\frac{ac}{bd}\).
  • Cuando se multiplican dos números enteros, el resultado siempre es un número entero. Por lo tanto, \(ac\) y \(bd\) son números enteros y \(\frac{ac}{bd}\) es un número racional.

¿Qué ocurre cuando tenemos dos números irracionales?

• La suma de dos números irracionales puede ser racional o irracional. Podemos demostrar por qué esta afirmación es verdadera usando ejemplos:

  • \(\sqrt3\) y \(\text-\sqrt3\) son números irracionales, pero su suma es 0, que es racional.
  • \(\sqrt3\) y \(\sqrt5\) son números irracionales y su suma es irracional.

• El producto de dos números irracionales puede ser racional o irracional. Podemos demostrar por qué esta afirmación es verdadera usando ejemplos:

  • \(\sqrt2\) y \(\sqrt8\) son números irracionales, pero su producto es \(\sqrt{16}\) o 4, que es racional.
  • \(\sqrt2\) y \(\sqrt7\) son números irracionales y su producto es \(\sqrt{14}\), que no es un cuadrado perfecto y, por lo tanto, es irracional.

¿Qué ocurre cuando tenemos un número racional y un número irracional?

• La suma de un número racional y un número irracional es irracional. Para explicar por qué esta afirmación es verdadera necesitamos un argumento diferente:

  • Sea \(R\) un número racional y sea \(I\) un número irracional. Queremos demostrar que \(R+I\) es irracional.
  • Supongamos que \(s\) es la suma \(R\) más \(I\) (\(s=R+I\)) y supongamos que \(s\) es racional.
  • Si \(s\) es racional, entonces \(s + \text-R\) también es racional porque la suma de dos números racionales es racional.
  • Pero \(s + \text-R\) no es racional porque \((R + I) + \text-R = I\).
  • \(s + \text-R\) no puede ser racional e irracional a la vez, lo que quiere decir que nuestra suposición inicial de que \(s\) era racional es falsa. Entonces, \(s\), que es la suma de un número racional y un número irracional, debe ser irracional.

• El producto de un número racional (distinto de cero) y un número irracional es irracional. Podemos demostrar por qué esta afirmación es verdadera de una manera similar a la anterior:

  • Sea \(R\) un número racional y sea \(I\) un número irracional. Queremos mostrar que \(R \boldcdot I\) es irracional.
  • Supongamos que \(p\) es el producto \(R\) por \(I\) (\(p=R \boldcdot I\)) y supongamos que \(p\) es un racional.
  • Si \(p\) es racional, entonces \(p \boldcdot \frac{1}{R}\) también es racional porque el producto de dos números racionales es racional.
  • Pero \(p \boldcdot \frac{1}{R}\) no es racional porque \(R \boldcdot I \boldcdot \frac{1}{R} = I\).
  • \(p \boldcdot \frac{1}{R}\) no puede ser racional e irracional a la vez. Así, nuestra suposición inicial de que \(p\) era racional es falsa. Entonces, \(p\), que es el producto de un número racional y un número irracional, debe ser irracional.