Lección 22

Reescribamos expresiones cuadráticas en forma canónica

  • Veamos qué más podemos lograr cuando completamos el cuadrado.

22.1: Tres expresiones, una función

Cada una de estas tres expresiones define la misma función.

\(x^2 + 6x +8 \qquad (x+2)(x+4) \qquad (x+3)^2-1\)

Sin graficar ni hacer cálculos, determina dónde estarían estas características en la gráfica que representa la función.

  1. el vértice
  2. las intersecciones con el eje \(x\)
  3. la intersección con el eje \(y\)

22.2: De una forma a otra y de regreso

  1. Estas son dos expresiones escritas en forma canónica. Reescríbelas en forma estándar. Muestra tu razonamiento.

    1. \((x+5)^2+1\)
    2. \((x-3)^2-7\)
  2. Piensa en los pasos que seguiste y en cómo te devolverías. Toma una o las dos expresiones que escribiste en forma estándar e intenta devolverte a la forma canónica. Explica cómo lo haces.
  3. Pon a prueba tu estrategia escribiendo \(x^2+10x+9\) en forma canónica.

  4. Revisemos la expresión que escribiste en forma canónica.

    1. Usa tecnología para graficar tanto \(x^2+10x+9\) como tu nueva expresión. ¿Pareciera que ambas expresiones definen la misma función?
    2. Si tomas la expresión escrita en forma canónica y la reescribes en forma estándar, ¿obtienes \(x^2+10x+9\)?

22.3: Coeficientes inconvenientes

    1. Esta es una manera de reescribir \(3x^2 + 12x + 9\) en forma canónica. Estudia los pasos y escribe una breve explicación de lo que ocurre en cada uno.

      \(\displaystyle \begin {align} 3x^2 + 12x + 9 &\qquad& \text{Expresión original}\\\\ 3(x^2 + 4x + 3)\\\\ 3(x^2 + 4x + 3 + 1 - 1)\\\\ 3(x^2+4x+4 -1)\\\\ 3\left((x+2)^2 -1\right) \\\\3(x+2)^2 - 3 \end {align}\)

    2. ¿Cuál es el vértice de la gráfica que representa esta expresión?
    3. ¿La gráfica abre hacia arriba o hacia abajo? Explica cómo lo sabes.

  2. Reescribe cada expresión en forma canónica. Muestra tu razonamiento.

    1. \(\text-2x^2 -4x +6\)
    2. \(4x^2 +24x + 20\)
    3. \(\text-x^2 +20x\)


  1. Sin completar el cuadrado, escribe \(f(x) = 2(x-3)(x-9)\) en forma canónica. (Pista: piensa en los ceros de la función). Explica tu razonamiento.
  2. Sin completar el cuadrado, escribe \(g(x)=2(x-3)(x-9)+21\) en forma canónica. Explica tu razonamiento.

22.4: Falta de información: Características de funciones

Tu profesor te dará una tarjeta de problema o una tarjeta de datos. No se la muestres ni se la leas a tu compañero.

Si tu profesor te da la tarjeta de datos:

  1. Lee en silencio la información de tu tarjeta. 
  2. ​​​​Pregúntale a tu compañero: “¿Qué información específica necesitas?”, y espera a que te pida información. Dale solo la información que está en tu tarjeta. (¡No le ayudes a descifrar nada!).
  3. Antes de darle la información a tu compañero, pregúntale: “¿Por qué necesitas saber (ese dato)?”.
  4. Lee la tarjeta de problema. Después, resuelve el problema individualmente. 
  5. ​​​​​Comparte la tarjeta de datos y discute tu razonamiento con tu compañero.

Si tu profesor te da la tarjeta de problema:

  1. Lee en silencio tu tarjeta y piensa en qué información necesitas para responder la pregunta.
  2. Pídele a tu compañero la información específica que necesitas.
  3. Explícale a tu compañero cómo vas a usar la información para resolver el problema.
  4. Cuando tengas suficiente información, comparte la tarjeta de problema con tu compañero. Después, resuelve el problema individualmente.
  5. Lee la tarjeta de datos y discute tu razonamiento con tu compañero.

Haz una pausa aquí para que el profesor pueda revisar tu trabajo. Pídele al profesor un nuevo grupo de tarjetas. Intercambia roles con tu compañero y repite la actividad.

Resumen

Recordemos que una función cuadrática se puede definir usando expresiones equivalentes escritas en formas diferentes, lo que nos permite ver las distintas características de su gráfica. Por ejemplo, estas expresiones definen la misma función:

\(\begin {align} (x-3)(x-7) \qquad &\text {forma factorizada}\\ x^2-10x+21 \qquad &\text {forma estándar}\\ (x-5)^2-4 \qquad &\text {forma canónica}\end {align}\)

  • A partir de la forma factorizada, podemos reconocer que las intersecciones con el eje \(x\) son ​​​​​​\((3,0)\) y \((7,0)\).
  • A partir de la forma estándar, podemos reconocer que la intersección con el eje \(y\) es \((0,21)\).
  • A partir de la forma canónica, podemos reconocer que el vértice es \((5,\text-4)\).
Graph of a quadratic function on a grid.

Recordemos que una función se escribe así en forma canónica: \(a(x-h)^2 + k\). Los valores de \(h\) y \(k\) nos dan el vértice de la gráfica, \((h, k)\) son las coordenadas del vértice. En este ejemplo, \(a\) es 1, \(h\) es 5 y \(k\) es -4.

  • Cuando tenemos una expresión escrita en forma canónica, podemos reescribirla en forma estándar usando la propiedad distributiva y agrupando términos semejantes.

    Supongamos que queremos reescribir \((x-1)^2-4\) en forma estándar.

    \(\displaystyle \begin {align} &(x-1)^2-4 \\ &(x-1)(x-1)-4 \\& x^2-2x+1-4 \\&x^2-2x-3 \end {align}\)

  • Cuando tenemos una expresión escrita en forma estándar, podemos reescribirla en forma canónica completando el cuadrado.

    Reescribamos \(x^2 + 10x +24\) en forma canónica.

    La expresión \(x^2 + 10x +25\) es un cuadrado perfecto, así que necesitamos sumar 1. Sin embargo, sumar 1 cambiaría la expresión. Para que la expresión nueva sea equivalente a la expresión original, necesitamos sumar 1 y también restar 1.

    \(\displaystyle \begin {align} &x^2 + 10x +24 \\& x^2 + 10x +24 + 1 - 1 \\ &x^2 + 10x + 25 - 1 \\ &(x+5)^2-1 \end {align}\)

  • Reescribamos otra expresión en forma canónica: \(\text-2x^2 + 12x - 30\).

    Para completar el cuadrado más fácilmente, primero podemos usar la propiedad distributiva y reescribir la expresión factorizando -2. Obtenemos \(\text-2 (x^2 -6x + 15)\).

    Para que la expresión que está dentro de los paréntesis sea un cuadrado perfecto, necesitamos obtener \(x^2 -6x + 9\). Tenemos 15 en la expresión, así que podemos restar 6 para obtener 9 y también sumar 6 para mantener el valor. Después, podemos reescribir \(x^2-6x+9\) en forma factorizada.

    \(\displaystyle \begin {align} &\text-2x^2 + 12x -30 \\&\text-2(x^2 -6x +15) \\& \text-2(x^2 -6x +15 -6 +6) \\ &\text-2(x^2 -6x +9 +6) \\ &\text-2\left((x-3)^2 + 6\right) \end {align}\)

    Sin embargo, esta expresión aún no está escrita en forma canónica. Para terminar, necesitamos aplicar la propiedad distributiva nuevamente para que la expresión quede en la forma \(a(x-h)^2 + k\):

    \(\displaystyle \begin {align} &\text-2\left((x-3)^2 + 6\right) \\&\text-2(x-3)^2 -12 \end {align}\)

    Cuando la expresión se escribe en esta forma, podemos ver que el vértice de la gráfica que representa \(\text-2(x-3)^2 -12\) es \((3, \text-12)\).

Entradas del glosario

  • forma canónica (de una expresión cuadrática)

    La forma canónica de una expresión cuadrática en \(x\) es \(a(x-h)^2 + k\), donde \(a\), \(h\) y \(k\) son constantes, y \(a\) no es igual a 0.