Lección 15

Estos son algunos cuadrados. Sus vértices están en los puntos de la cuadrícula.

Encuentra el área y la longitud de lado de cada cuadrado.

Soluciona cada ecuación. Usa la notación \(\pm\) cuando sea adecuado.

1. \(x^2 - 13 = \text-12\)
2. \((x-6)^2 = 0\)
3. \(x^2 + 9 = 0\)
4. \(x^2 = 18\)
5. \(x^2 + 1 =18\)
6. \((x + 1)^2 = 18\)

En este ejemplo se soluciona una ecuación graficando y también completando el cuadrado.

\(\displaystyle \begin {align} x^2 + 6x +7 &=0\\ x^2 + 6x + 9 &= 2\\(x+3)^2 &= 2\\x+3 &=\pm \sqrt2\\ x &=\text-3\pm \sqrt2 \end{align}\)

Comprueba todo esto: \(\sqrt2\) es aproximadamente 1.414, así que \(\text-3+\sqrt2 \approx \text-1.586\) y \(\text-3-\sqrt2 \approx \text-4.414\).

Encuentra las soluciones exactas de cada una de las siguientes ecuaciones completando el cuadrado y encuentra las soluciones aproximadas graficando. Después, comprueba que las soluciones que encontraste usando estos dos métodos sean cercanas. Si tienes dificultades, puedes estudiar el ejemplo anterior.

1. \(x^2+4x+1=0\)
2. \(x^2-10x+18=0\)
3. \(x^2+5x+\frac14=0\)
4. \(x^2+\frac83 x + \frac{14}{9}=0\)

Cuando solucionamos ecuaciones cuadráticas, es importante recordar que:

• Cualquier número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y una negativa, porque hay dos números que se pueden elevar al cuadrado para obtener ese número. (Por ejemplo, tanto \(6^2\) como \((\text-6)^2\) son iguales a 36, así que 6 y -6 son ambos raíces cuadradas de 36).
• El símbolo de raíz cuadrada (\(\sqrt{\phantom{3}}\)) se puede usar para expresar la raíz cuadrada positiva de un número. Por ejemplo, la raíz cuadrada positiva de 36 es 6, que también se puede escribir como \(\sqrt{36}\), porque \(\sqrt{36} \boldcdot \sqrt{36} = 36\).
• Para expresar la raíz cuadrada negativa de un número, por ejemplo, de 36, podemos escribir -6 o \(\text- \sqrt {36}\).
• Si un número no es un cuadrado perfecto, por ejemplo, 40, podemos expresar sus raíces cuadradas escribiendo \(\sqrt{40}\) y \(\text- \sqrt{40}\).

¿Cómo podemos escribir las soluciones de una ecuación como \((x + 4)^2 = 11\)? Esta ecuación dice que “algo elevado al cuadrado es 11”. Para hacer que la ecuación sea verdadera, ese algo debe ser \(\sqrt{11}\) o \(\text-\sqrt{11}\). Entonces, podemos escribir:

\(\displaystyle \begin {align} x+4 = \sqrt{11} \quad &\text{o} \quad x+4 = \text- \sqrt{11}\\x = \text-4 + \sqrt{11} \quad &\text{o} \quad x=\text-4 - \sqrt{11} \end {align}\)

Una manera más compacta de escribir las dos soluciones de la ecuación es: \(x=\text-4 \pm \sqrt{11}\).

¿Aproximadamente qué tan grandes o pequeños son esos números?, ¿son positivos o negativos? Podemos usar una calculadora para calcular los valores aproximados de ambas expresiones:

\(\displaystyle \text-4 + \sqrt{11} \approx \text-0.683 \quad \text{o} \quad \text-4 - \sqrt{11} \approx \text-7.317\)

También podemos aproximar las soluciones haciendo gráficas. La ecuación \((x+4)^2=11\) es equivalente a \((x+4)^2-11=0\), entonces podemos graficar la función \(y=(x+4)^2-11\) y encontrar sus ceros identificando las intersecciones de la gráfica con el eje \(x\).