Lección 6
Reescribamos expresiones cuadráticas en forma factorizada (parte 1)
- Escribamos expresiones en forma factorizada.
6.1: Acertijos de rectángulos
Estos son dos acertijos que incluyen longitudes de lados y áreas de rectángulos. ¿Puedes encontrar el área desconocida de la figura A y la longitud desconocida de la figura B? Prepárate para explicar tu razonamiento.
Figura A
Figura B
6.2: Usemos diagramas para entender expresiones equivalentes
-
En cada caso, usa un diagrama para mostrar que las dos expresiones son equivalentes.
\(x(x+3)\) y \(x^2 +3x\)
\(x(x+\text-6)\) y \(x^2-6x\)
\((x+2)(x+4)\) y \(x^2 + 6x + 8\)
\((x+4)(x+10)\) y \(x^2 + 14x + 40\)
\((x+\text-5)(x+\text-1)\) y \(x^2 - 6x +5\)
\((x-1)(x-7)\) y \(x^2 -8x + 7\)
- Observa las parejas de expresiones que incluyen el producto de dos sumas o dos diferencias. ¿Cómo se relaciona cada expresión escrita en forma factorizada con la expresión equivalente escrita en forma estándar?
6.3: ¡Reescribamos expresiones!
Cada fila de la tabla debe tener un par de expresiones equivalentes.
Completa la tabla con las expresiones que faltan. Si tienes dificultades, puedes dibujar un diagrama.
| forma factorizada | forma estándar |
|---|---|
| \(x(x+7)\) | |
| \(x^2+9x\) | |
| \(x^2-8x\) | |
| \((x+6)(x+2)\) | |
| \(x^2+13x+12\) | |
| \((x-6)(x-2)\) | |
| \(x^2-7x+12\) | |
| \(x^2+6x+9\) | |
| \(x^2+10x+9\) | |
| \(x^2-10x+9\) | |
| \(x^2-6x+9\) | |
| \(x^2+(m+n)x+mn\) |
Una matemática organizó una fiesta en su casa. Durante la fiesta, planteó este acertijo a sus invitados: “Tengo tres hijas. El producto de sus edades es 72. La suma de sus edades es el mismo número que el número de mi casa. ¿Cuántos años tienen mis hijas?”.
Los invitados salieron a ver el número de la casa. Pensaron unos minutos y dijeron: “¡Este acertijo no se puede resolver!”.
La matemática dijo: “Ah, sí, olvidé decirles la última pista. Mi hija menor prefiere el helado de fresa”.
Con esta última pista, los invitados pudieron resolver el acertijo. ¿Cuántos años tiene cada una de las hijas de la matemática?
Resumen
Anteriormente, aprendiste cómo desarrollar una expresión cuadrática que estaba escrita en forma factorizada y escribirla en forma estándar aplicando la propiedad distributiva.
Por ejemplo, para desarrollar \((x+4)(x+5)\), aplicamos la propiedad distributiva, multiplicando \(x\) por \((x+5)\) y 4 por \((x+5)\). Luego, aplicamos de nuevo la propiedad distributiva, multiplicando \(x\) por \(x\) y \(x\) por 5, y multiplicando 4 por \(x\) y 4 por 5.
Para llevar un registro de todos los productos, podemos hacer un diagrama como este:
| \(x\) | \(4\) | |
|---|---|---|
| \(x\) | ||
| \(5\) |
Después, podemos escribir dentro de los espacios los productos de cada pareja:
| \(x\) | \(4\) | |
|---|---|---|
| \(x\) | \(x^2\) | \(4x\) |
| \(5\) | \(5x\) | \(4 \boldcdot 5\) |
El diagrama nos ayuda a ver que \((x+4)(x+5)\) es equivalente a \(x^2 +5x +4x + 4 \boldcdot 5\), o en forma estándar, \(x^2 +9x + 20\).
- El término lineal, \(9x\), tiene un coeficiente de 9, que es la suma de 5 y 4.
- El término constante, 20, es el producto de 5 y 4.
Podemos usar estas observaciones para hacer lo contrario: comenzar con una expresión escrita en forma estándar y escribirla en forma factorizada.
Por ejemplo, supongamos que queremos escribir en forma factorizada la expresión \(x^2 - 11x + 24\).
Primero, hagamos un diagrama y ubiquemos los términos \(x^2\) y 24.
Necesitamos encontrar dos números que multiplicados den 24 y sumados den -11.
| \(x\) | ||
|---|---|---|
| \(x\) | \(x^2\) | |
| \(24\) |
Después de pensarlo un poco, vemos que -8 y -3 cumplen esas condiciones.
El producto de -8 y -3 es 24. La suma de -8 y -3 es -11.
| \(x\) | \(\text-8\) | |
|---|---|---|
| \(x\) | \(x^2\) | \(\text-8x\) |
| \(\text-3\) | \(\text-3x\) | \(24\) |
Entonces, \(x^2 - 11x + 24\) se escribe como \((x-8)(x-3)\) en forma factorizada.
Entradas del glosario
- coeficiente
En una expresión algebraica, el coeficiente de una variable es la constante que la está multiplicando. Si la variable aparece sola, entonces se considera como si un 1 la estuviera multiplicando y en este caso el coeficiente es 1.
El coeficiente de \(x\) en la expresión \(3x + 2\) es \(3\). El coeficiente de \(p\) en la expresión \(5 + p\) es 1.
- propiedad de producto cero
La propiedad de producto cero dice que si el producto de dos números es igual a 0, entonces uno de los números debe ser igual a 0.
- término constante
En una expresión como \(5x + 2\), el número 2 se llama el término constante porque es la parte de la expresión que no cambia cuando \(x\) cambia.
En la expresión \(5x-8\), el término constante es -8, porque podemos reescribir la expresión como \(5x + (\text-8)\). En la expresión \(12x-4\), el término constante es -4.
- término lineal
El término lineal de una expresión cuadrática (escrita en forma estándar) \(ax^2 + bx + c\), donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes, es el término \(bx\). (Si la expresión no está en forma estándar, puede que deba reescribirse primero en forma estándar para encontrar el término lineal).