Lección 11

¿Qué son los cuadrados perfectos?

  • Comprendamos cómo los cuadrados perfectos hacen que algunas ecuaciones sean más fáciles de resolver.

Problema 1

Selecciona todas las expresiones que son cuadrados perfectos.
A:

\((x+5)(x+5)\)

B:

\((\text- 9 + c)(c-9)\)

C:

\((y-10)(10-y)\)

D:

\((a+3)(3+a)\)

E:

\((2x-1)(2x+1)\)

F:

\((4-3x)(3-4x)\)

G:

\((a+b)(b+a)\)

Problema 2

Cada diagrama representa el cuadrado de una expresión, es decir, un cuadrado perfecto.
\((n+7)^2\)
   \(n\)       \(7\)  
   \(n\)    \(n^2\) \(7n\)
   \(7\)   \(7n\) \(7^2\)
\((5-m)^2\)
\(5\) \(\text-m\)
\(5\) \(5^2\) \(5(\text-m)\)
\(\text-m\) \(5(\text-m)\) \((\text-m)^2\)
\((h+\frac13)^2\)
   \(h\)       \(\frac13\)   
   \(h\)   
   \(\frac13\)   
  1. Completa las casillas de la última tabla.
  2. ¿En qué se parece el contenido de los tres diagramas? Este diagrama representa \((\text{término 1}+\text{término 2})^2\). Describe lo que notas acerca de las casillas 1, 2, 3 y 4.
    término 1 término 2
    término 1 casilla 1 casilla 2
    término 2 casilla 3 casilla 4

  3. Reescribe los cuadrados perfectos \((n+7)^2\), \((5-m)^2\) y \((h+\frac13)^2\) en forma estándar: \(ax^2+bx+c\).
  4. ¿Cómo se relacionan los términos \(ax^2\), \(bx\) y \(c\) de un cuadrado perfecto que está en forma estándar con los dos términos de \((\text{término 1}+\text{término 2})^2\)?

Problema 3

Soluciona cada ecuación.

  1. \((x - 1)^2 = 4\)
  2. \((x + 5)^2 = 81\)
  3. \((x - 2)^2 = 0\)
  4. \((x + 11)^2 = 121\)
  5. \((x - 7)^2 = \frac{64}{49}\)

Problema 4

Explica o muestra por qué el producto de una suma y una diferencia, como \((2x+1)(2x-1)\), no tiene término lineal cuando se escribe en forma estándar.

(de la Unidad 7, Lección 8.)

Problema 5

Para solucionar la ecuación \((x+3)^2=4\), Han primero desarrolló la expresión que estaba elevada al cuadrado. Este es su trabajo, que aún está incompleto:

\(\begin{align}(x+3)^2&=4\\ (x+3)(x+3)&=4\\ x^2+3x+3x+9&=4\\ x^2+6x+9&=4 \end{align}\)

  1. Completa el trabajo de Han y soluciona la ecuación.

  2. Jada vio la ecuación \((x+3)^2=4\) y pensó: “Hay dos números, 2 y -2, que al elevarse al cuadrado son iguales a 4. Esto significa que \(x+3\) es 2 o -2. Puedo usar eso para encontrar los valores de \(x\)”.

    Usa el razonamiento de Jada para solucionar la ecuación.

  3. ¿Puede Jada usar el mismo razonamiento para solucionar \((x+3)(x-3)=5\)? Explica tu razonamiento.

Problema 6

Se muestra un tarro lleno de canicas. En la tabla se muestran las estimaciones que hicieron 10 personas. El número exacto de canicas en el tarro es 145. Calcula el error absoluto de estimación de cada una de las 10 estimaciones.  

estimación 190 150 125 133 167 160 148 200 170 115
error absoluto de estimación
(de la Unidad 4, Lección 13.)