Lección 19

Deduzcamos la fórmula cuadrática

  • Descubramos de dónde viene la fórmula cuadrática.

Problema 1

  1. La ecuación cuadrática \(x^2 + 7x + 10 = 0\) está escrita en la forma \(ax^2 + bx + c = 0\). ¿Cuáles son los valores de \(a\), \(b\) y \(c\)?

  2. Se muestran unos pasos para solucionar la ecuación completando el cuadrado. Algunos pasos están incompletos. En la tercera línea, ¿cuál puede ser una buena razón para haber multiplicado por 4 a cada lado de la ecuación?

    \(\displaystyle \begin {align}\\ x^2 + 7x + 10 &= 0 &\hspace{0.1in}& \text {Ecuación original}\\\\ x^2 + 7x &= \text-10 &\hspace{0.1in}& \text {Restamos 10 a cada lado}\\\\ 4x^2 + 4(7x) &= 4(\text-10) &\hspace{0.1in}& \text {Multiplicamos por 4 a cada lado}\\\\ (2x)^2 + 2(7)2x + \underline{\hspace{0.3in}}^2 &= \underline{\hspace{0.3in}}^2 - 4(10) &\hspace{0.1in}& \text {Reescribimos } 4x^2 \text{ como } (2x)^2\\ &\text{} &\hspace{0.1in}& \text{y }4(7x) \text{ como } 2(7)2x\\\\ (2x+\underline{\hspace{0.3in}})^2 &= \underline{\hspace{0.3in}}^2 - 4(10)\\\\ 2x+\underline{\hspace{0.3in}} &= \pm \sqrt { \underline{\hspace{0.3in}}^2 - 4(10)}\\\\ 2x &= \underline{\hspace{0.3in}} \pm \sqrt { \underline{\hspace{0.3in}}^2 - 4(10)}\\\\ x &=\\ \end {align}\)

  3. Completa los pasos que están incompletos y describe lo que se hace en cada uno de los últimos cuatro pasos de la solución.
  4. Reemplaza \(a\), \(b\) y \(c\) en la fórmula cuadrática, \(\displaystyle x = {\text-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\), pero no evalúes ninguna expresión. Explica cómo se relaciona la expresión de la fórmula cuadrática con la solución de \(x^2+7x+10=0\) cuando completamos el cuadrado.

Problema 2

Considera la ecuación \(x^2-39=0\).

  1. ¿Se puede usar la fórmula cuadrática para resolver esta ecuación? Explica o muestra cómo lo sabes.
  2. ¿Puedes resolver esta ecuación usando raíces cuadradas? Explica o muestra cómo lo sabes.

Problema 3

Clare quiere deducir la fórmula cuadrática. Para esto, ella soluciona \(ax^2+bx+c=0\) completando el cuadrado.

Ella obtiene esta ecuación:

\((2ax+b)^2=b^2-4ac\)

Describe brevemente lo que debe hacer para despejar \(x\). Después, muestra los pasos correspondientes.

Problema 4

Tyler soluciona la ecuación cuadrática \(x^2 + 8x +11=4\) como se muestra. 

Estudia lo que hizo Tyler y explica su error. Después, soluciona la ecuación correctamente.

\(\displaystyle \begin{align} x^2 + 8x+11&= 4\\ x^2+8x+16&=4\\(x + 4)^2 &= 4\\ x = \text-8 \quad &\text { o } \quad x = 0\\ \end{align}\\\)

(de la Unidad 7, Lección 12.)

Problema 5

Soluciona cada ecuación usando la fórmula cuadrática. Después, comprueba que tus soluciones son correctas escribiendo la expresión cuadrática en forma factorizada y usando la propiedad de producto cero.

  1. \(2x^2-3x-5=0\)
  2. \(x^2-4x=21\)
  3. \(3-x-4x^2=0\)
(de la Unidad 7, Lección 16.)

Problema 6

Se golpea una pelota de tenis directamente hacia arriba. La altura de la pelota sobre el nivel del suelo, en pies, está modelada por la ecuación \(f(t) = 4 + 12t - 16t^2\), donde \(t\) es el tiempo después de que la pelota fue golpeada, en segundos.

  1. Encuentra las soluciones de \(6 = 4 + 12t - 16t^2\) sin graficar. Muestra tu razonamiento.
  2. ¿Qué nos dicen las soluciones acerca de la pelota de tenis?
(de la Unidad 7, Lección 17.)

Problema 7

Considera la ecuación \(y=2x(6-x)\).

  1. ¿Cuáles son las intersecciones de la gráfica de esta ecuación con el eje \(x\)? Explica cómo lo sabes.
  2. ¿Cuál es la coordenada \(x\) del vértice de la gráfica de esta ecuación? Explica cómo lo sabes.
  3. ¿Cuál es la coordenada \(y\) del vértice? Muestra tu razonamiento.

  4. Dibuja la gráfica de esta ecuación.

(de la Unidad 6, Lección 11.)