Lección 23

Usemos expresiones cuadráticas en forma canónica para resolver problemas

  • Encontremos el valor máximo o mínimo de una función cuadrática.

Problema 1

Esta es una gráfica de una función cuadrática \(f(x)\). ¿Cuál es el valor mínimo de \(f(x)\)?

Function on a grid. X axis from negative 20 to 10, by 10’s. Y axis from negative 20 to 20, by 20’s. Origin, O. Parabola opens upward with vertex around negative 10 comma 0.

Problema 2

La gráfica que representa \(f(x) = (x+1)^2-4\) tiene su vértice en \((\text-1,\text-4)\).

Explica cómo podemos saber a partir de la expresión \((x+1)^2-4\) que -4 es el valor mínimo de \(f\) y no el valor máximo.

Problema 3

Cada una de estas expresiones define una función cuadrática. Encuentra el vértice de la gráfica de la función. Después, di si el vértice corresponde al valor máximo o al valor mínimo de la función.

  1. \((x - 5)^2 + 6\)
  2. \((x + 5)^2 - 1\)
  3. \(\text- 2(x+3)^2 - 10\)
  4. \(3(x - 7)^2 + 11\)
  5. \(\text- (x - 2)^2 - 2\)
  6. \((x + 1)^2\)

Problema 4

Considera la ecuación \(x^2=12x\).

  1. ¿Podemos usar la fórmula cuadrática para solucionar esta ecuación? Explica o muestra cómo lo sabes.
  2. ¿Con cuál de estas dos maneras es más fácil solucionar esta ecuación: completar el cuadrado o usar la propiedad de producto cero después de reescribir la ecuación en forma factorizada? Explica o muestra tu razonamiento.
(de la Unidad 7, Lección 19.)

Problema 5

Empareja cada ecuación con su número de soluciones.

A:

\((x-1)(x-5)=5\)

B:

\(x^2-2x=\text-1\)

C:

\((x-5)^2=\text-25\)

1:

no tiene soluciones

2: 1 solución

3:

2 soluciones

(de la Unidad 7, Lección 17.)

Problema 6

¿Cuál ecuación tiene soluciones irracionales?

A:

\(100x^2=9\)

B:

\(9(x-1)^2=4\)

C:

\(4x^2-1=0\)

D:

\(9(x+3)^2=27\)

(de la Unidad 7, Lección 20.)

Problema 7

Supongamos que \(I\) representa un número irracional y \(R\) representa un número racional. Decide si cada afirmación es verdadera o falsa. Explica lo que pensaste.

  1. \(R \boldcdot I\) puede ser racional.
  2. \(I \boldcdot I\) puede ser racional.
  3. \(R \boldcdot R\) puede ser racional.
(de la Unidad 7, Lección 21.)

Problema 8

Estas son gráficas de las ecuaciones \(y=x^2\), \(y=(x-3)^2\) y \(y=(x-3)^2 + 7\).
  1. Compara las 3 gráficas. ¿Qué puedes decir?
    3 parabolas in x y plane.
  2. Al pasar de la gráfica de \(y=x^2\) a la de \(y=(x-3)^2\), ¿qué efecto tiene en la gráfica el -3?
  3. Al pasar de la gráfica de \(y=(x-3)^2\) a la de \(y=(x-3)^2 + 7\), ¿qué efecto tiene el +7?
(de la Unidad 6, Lección 17.)

Problema 9

Tres préstamos de \$5,000 tienen tasas de interés anual distintas. La tasa de interés anual del préstamo A es de 10.5% , la del préstamo B es 15.75% y la del préstamo C es 18.25%.
  1. Si para cada uno de los tres préstamos graficamos la cantidad de la deuda como función del número de años que pasan sin hacer pagos, ¿qué forma tendría cada gráfica? Describe o dibuja cada gráfica según tus predicciones.
  2. Usa tecnología para graficar cada función. Teniendo en cuenta tus gráficas y suponiendo que no se hacen pagos, ¿alrededor de cuántos años se necesitan en cada caso para que el valor de la deuda se triplique?
(de la Unidad 5, Lección 15.)