Lección 19

Desarrollar y factorizar

Usemos la propiedad distributiva para escribir expresiones de diferentes maneras.

19.1: Conversación numérica: paréntesis

Encuentra mentalmente el valor de cada expresión. 

\(2 + 3 \boldcdot 4\)

\((2+3)(4)\)

\(2 - 3 \boldcdot 4\)

\(2 - (3 + 4)\)

19.2: Factoricemos y desarrollemos expresiones con números negativos

En cada fila, escribe la expresión equivalente. Si tienes dificultades, utiliza un diagrama para organizar tu trabajo. La primera fila de la tabla es un ejemplo de lo que debes hacer. Estos son los diagramas que se podrían usar para completar las primeras tres filas:

Three area diagrams.
factorizada desarrollada
\(\text- 3(5 - 2y)\) \(\text- 15 + 6y\)
\(5(a-6)\)  
  \(6a-2b\)
\(\text- 4(2w-5z)\)  
\(\text- (2x-3y)\)  
  \(20x-10y+15z\)
\(k(4-17)\)  
  \(10a-13a\)
\(\text- 2x(3y-z)\)  
  \(ab-bc-3bd\)
\(\text- x(3y-z+4w)\)  

 



Desarrolla la expresión para crear una expresión equivalente que utilice el menor número de términos: \(\left(\left(\left(\left(x\strut+1\right)\frac12\right)+1\right)\frac12\right)+1\). Si escribimos una nueva expresión siguiendo el mismo patrón para que haya 20 grupos de paréntesis, ¿cómo podría desarrollarse en una expresión equivalente que utilice la menor cantidad de términos?

Resumen

Podemos usar propiedades de las operaciones de diferentes maneras para reescribir expresiones y crear expresiones equivalentes. Ya hemos visto que podemos usar la propiedad distributiva para desarrollar una expresión, por ejemplo \(3(x+5) = 3x+15\). También podemos usar la propiedad distributiva en la otra dirección y factorizar una expresión, por ejemplo \(8x+12 = 4(2x+3)\).   

Podemos organizar nuestro trabajo al usar la propiedad distributiva para reescribir la expresión \(12x-8\). En este caso, conocemos el producto y necesitamos encontrar los factores.

Los términos del producto van adentro:  

Area diagram, 1 row, 2 columns. Inside the diagram, starting wtih the first box, 12 x, negative 8. To the left of the row and above each column, blank boxes indicate missing labels.
 
 

Observemos las expresiones y pensemos en un factor que tengan en común. \(12x\) y \(\text- 8\) tienen 4 como factor. Colocamos el factor común a un lado del rectángulo grande:

Area diagram, 1 row, 2 columns.  To the left of the row, 4. Inside the boxes, 12 x, negative 8. Above each row a blank box indicates a missing label.
 

Ahora pensamos: "¿4 veces qué es 12\(x\)?", "¿4 veces qué es -8?", y escribimos los otros factores en el otro lado del rectángulo:

Area diagram, 1 row, 2 columns. To the left of the row, 4. Above each column, 3 x, negative 2. Beginning with the first box, 12 x, negative 8.

Entonces, \(12x-8\) es equivalente a \(4(3x-2)\).