Lección 20

Agrupemos términos semejantes (Parte 1)

Veamos cómo podemos saber que ciertas expresiones son equivalentes. 

20.1: ¿Por qué es verdadero?

Explica por qué cada enunciado es verdadero. 

  1. \(5+2+3=5+(2+3)\)
  2. \(9a\) es equivalente a \(11a-2a\).
  3. \(7a+4-2a\) es equivalente a \(7a+\text-2a+4\).
  4. \(8a-(8a-8)\) es equivalente a 8.

20.2: Las A y las B

Diego y Jada están intentando escribir una expresión con menos términos que sea equivalente a \(\displaystyle 7a + 5b - 3a + 4b\)

  • Jada piensa que \(10a + 1b\) es equivalente a la expresión original.
  • Diego piensa que \(4a + 9b\) es equivalente a la expresión original. 

  1. Podemos mostrar que las expresiones son equivalentes, escribiendo todas las variables. Explica por qué la expresión en cada fila (después de la primera fila) es equivalente a la expresión que está en la fila anterior. \(\displaystyle 7a+5b-3a+4b\) \(\displaystyle (a+a+a+a+a+a+a) + (b+b+b+b+b) - (a+a+a) + (b+b+b+b)\) \(\displaystyle (a+a+a+a) + (a+a+a) + (b+b+b+b+b) - (a+a+a) + (b+b+b+b)\) \(\displaystyle (a+a+a+a) + (b+b+b+b+b) + (a+a+a) - (a+a+a) + (b+b+b+b)\) \(\displaystyle (a+a+a+a) + (b+b+b+b+b) + (b+b+b+b)\) \(\displaystyle (a+a+a+a) + (b+b+b+b+b+b+b+b+b)\) \(\displaystyle 4a + 9b\)

  2. Esta es otra manera en la que podemos reescribir la expresión. Explica por qué la expresión en cada fila (después de la primera fila) es equivalente a la expresión anterior. \(\displaystyle 7a+5b-3a+4b\) \(\displaystyle 7a+5b+(\text-3a)+4b\) \(\displaystyle 7a+(\text-3a)+5b+4b\) \(\displaystyle (7+\text-3)a+(5+4)b\) \(\displaystyle 4a+9b\)



Sigue las instrucciones para un reto numérico:

  • Toma el número formado por los 3 primeros dígitos de tu número telefónico y multiplícalo por 40
  • Suma 1 al resultado
  • Multiplica por 500
  • Suma el número formado por los 4 últimos dígitos de tu número telefónico, y luego súmalo de nuevo.
  • Resta 500
  • Multiplica por \(\frac12\)
  1. ¿Cuál es el número final?
  2. ¿Cómo funciona este reto numérico? 
  3. ¿Puedes inventarte un nuevo reto numérico que dé un resultado sorprendente? 

20.3: Hagamos que los lados sean iguales (Parte 1)

Reemplaza cada "?" por una expresión que haga que el lado izquierdo de la ecuación sea equivalente al lado derecho. 

Grupo A

  1. \(6x+{?}=10x\)
  2. \(6x+{?}=2x\)
  3. \(6x+{?}=\text-10x\)
  4. \(6x+{?}=0\)
  5. \(6x+{?}=10\)

Revisa tus resultados con un compañero y resuelvan cualquier desacuerdo. Luego, continúa con el grupo B. 

Grupo B

  1. \(6x - {?}= 2x\)
  2. \(6x - {?} = 10x\)
  3. \(6x - {?} = x\)
  4. \(6x - {?} = 6\)
  5. \(6x - {?} = 4x-10\)

Resumen

Hay muchas formas de escribir expresiones equivalentes que pueden parecer muy diferentes entre sí. Tenemos varias herramientas para averiguar si dos expresiones son equivalentes.

  • Dos expresiones definitivamente no son equivalentes si tienen valores diferentes al reemplazar sus variables por el mismo número. Por ejemplo, \(2(\text-3+x)+8\) y \(2x+5\) no son equivalentes, porque si \(x\) es igual a 1, la primera expresión es igual a 4 y la segunda expresión es igual a 7. 
  • Si dos expresiones son iguales para muchos valores diferentes con los que sustituimos la variable, entonces las expresiones pueden ser equivalentes, pero no estamos seguros de esto. Es imposible comparar las dos expresiones usando todos los valores. Para estar seguros, usamos las propiedades de las operaciones. Por ejemplo, \(2(\text-3+x)+8\) es equivalente a \(2x+2\) porque:

\(\begin{align} 2(\text-3+x)+8\\ \text-6+2x+8 & \quad\text{por la propiedad distributiva}\\ 2x+\text-6+8 & \quad\text{por la propiedad conmutativa}\\ 2x+(\text-6+8) & \quad\text{por la propiedad asociativa} \\ 2x+2 \\ \end{align}\)