Lección 7
Razonemos sobre la resolución de ecuaciones (Parte 1)
Veamos en qué se parece un colgador balanceado a una ecuación y cómo mover sus pesos es parecido a resolver la ecuación.
7.1: Diagramas de colgador
En ambos diagramas todos los triángulos tienen el mismo peso y todos los cuadrados tienen el mismo peso.
Para cada diagrama, piensa en...
- Una cosa que debe ser verdadera
- Una cosa que podría ser verdadera
- Una cosa que no es posible que sea verdadera
![Two hanger diagrams.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/tXCLd95NM4rLjKBduc8n5VuG?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.6.Revision.Image.k8.06.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.6.Revision.Image.k8.06.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240726%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240726T234320Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=dec2d8e7be9e1c6423eace215a2f5ae622ad843e0a24e3453498b21090750547)
7.2: Asociemos colgadores con ecuaciones
En cada colgador balanceado, las figuras etiquetadas con la misma letra tienen el mismo peso.
- Asocia cada colgador con una ecuación. Completa la ecuación escribiendo \(x\), \(y\), \(z\) o \(w\) en el espacio vacío.
- \(2 \boxed{\phantom{3}} + 3 = 5\)
- \(3 \boxed{\phantom{3}} + 2 = 3\)
- \(6 = 2 \boxed{\phantom{3}} + 3\)
- \(7 = 3 \boxed{\phantom{3}} + 1\)
- Encuentra la solución de cada ecuación. Usa el colgador para explicar qué significa la solución.
![Four balanced hanger diagrams, A, B, C, D.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/2ufTkCE48RJvkWprEY9Zs7fS?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.6.Revision.Image.k8.07.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.6.Revision.Image.k8.07.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240726%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240726T234320Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=aa9b84a7c97e0746b0e748153f7689d605417d02983bfa3353b74ac16fbf441f)
7.3: Usemos colgadores para comprender cómo resolver ecuaciones
Estos son algunos colgadores balanceados en los que cada figura está etiquetada con su peso. Para cada diagrama:
- Escribe una ecuación.
- Explica cómo podemos encontrar el peso de una figura marcada con una letra analizando el diagrama.
- Explica cómo podemos encontrar el peso de una figura marcada con una letra analizando la ecuación.
![Four balanced hanger diagrams, A, B, C, D.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/F6vBcaAdb9f2spfyKohheT1G?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.6.Revision.Image.k8.08.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.6.Revision.Image.k8.08.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240726%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240726T234320Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=b9905f339c401c13494fe08aa2cb5b3295edd40dd95f819b0bd33339df51d643)
Resumen
En esta lección trabajamos con dos formas de mostrar la igualdad de dos cantidades: un colgador balanceado y una ecuación. Podemos usar un colgador balanceado para pensar en los pasos que permiten encontrar una cantidad desconocida en una ecuación asociada.
El colgador muestra un peso total de 7 unidades de un lado, que está balanceado con el otro lado que tiene 3 pesos iguales de valor desconocido y un peso de 1 unidad. Una ecuación que representa la relación es \(7=3x+1\).
![Balanced hanger, left side, 7 squares, right side, 3 circles and 1 square.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/SSQnrz1omkAgj5m44v1aj495?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.6.B7.Summary1.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.6.B7.Summary1.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240726%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240726T234320Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=a2d65e7bf1573822decfefa6a8216daaf5556139156c9eece2dfa837da5d4783)
Podemos quitar un peso de 1 unidad de ambos lados del colgador y este seguirá balanceado. Esto es lo mismo que restar 1 de cada lado de la ecuación.
![Balanced hanger, and to the side, an equation.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/ybfMWZ6xxZ5FRipdD8875kyn?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.6.B7.Summary2.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.6.B7.Summary2.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240726%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240726T234320Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=257280e1d5c100a67a5c667dfc61c4b5aaa3a825ceb82582f7a22dd382ab8974)
Una ecuación para el nuevo colgador balanceado es \(6=3x\).
![Balanced hanger, left side, 6 blue squares, right side, 3 green circles. To the side, an equation says 6 = 3 x.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/9awskjWu64iq9oAiUQaiygwe?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.6.B7.Summaryxyz.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.6.B7.Summaryxyz.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240726%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240726T234320Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=a70567fc9793b87e4e40bb20a39cc07a21a7517b96ef332a14babb14a3b027dc)
Así que el colgador seguirá balanceado con \(\frac13\) del peso de cada lado: \(\frac13 \boldcdot 6 = \frac13 \boldcdot 3x\).
![Balanced hanger.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/KSpfnvy5cKL8MppjGL4KjZ9S?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.6.B7.Summary3.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.6.B7.Summary3.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240726%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240726T234320Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=c2485f916f4bd4535d0c8c548b1a552456cf9d9c290091b10fad90d5a756a85b)
Ambos lados del colgador se balancean con los siguientes pesos: 6 pesos de 1 unidad en un lado y tres pesos de valores desconocidos en el otro lado.
![Balanced hanger, left side 2 squares, right side 1 circle. To the side, an equation says 2 = x.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/1Q6o1jr43CjSUUGrJyVAAxo7?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.6.B7.Summarypdq.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.6.B7.Summarypdq.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240726%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240726T234320Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=9690aadbafe8f51dfb035d6c24ae6b00ff3b8dc160557bc96e5be10cdfcccc2d)
La siguiente es una manera concisa de escribir los pasos anteriores:
\(\begin {align} 7&=3x+1 & \\ 6&=3x & \text{después de restar 1 de cada lado} \\ 2 &= x & \text{después de multiplicar cada lado por} \tfrac13 \\ \end{align}\)