Lección 8

Razonemos sobre la resolución de ecuaciones (Parte 2)

Usemos colgadores para comprender dos maneras diferentes de resolver ecuaciones que tienen paréntesis.

8.1: Equivalente a 2(x+3)

Selecciona todas las expresiones equivalentes a \(2(x+3)\).

  1. \(2 \boldcdot (x+3) \)
  2. \((x + 3)2 \)
  3. \(2 \boldcdot x + 2 \boldcdot 3\) 
  4. \(2 \boldcdot x + 3 \)
  5. \((2 \boldcdot x) + 3\) 
  6. \((2 + x)3\)

8.2: Cualquiera de las dos

  1. Explica por qué cada una de las ecuaciones podría representar el diagrama:

    Balanced hanger diagram, left side, rectangle 14, right side, circle x, square 3, circle x, square 3.

    \(14=2(x+3)\) o \(14=2x+6\)

  2. Encuentra el peso de un círculo. Prepárate para explicar tu razonamiento.

8.3: Usemos colgadores para comprender cómo resolver ecuaciones, de nuevo

Estos son algunos colgadores balanceados. Cada figura está etiquetada con su peso.

Four balanced hanger diagrams.

Para cada diagrama:

  1. Asocia una de estas ecuaciones a cada colgador. 

    \(2(x+5)=16\)

    \(3(y+200)=3\!,000\)

    \(20.8=4(z+1.1)\)

    \(\frac{20}{3}=2\left(w+\frac23\right)\)

  2. Explica cómo averiguar el peso de cada pieza que está etiquetada con una letra, razonando sobre el diagrama.
  3. Explica cómo averiguar el peso de cada pieza que está etiquetada con una letra, razonando sobre la ecuación.

Resumen

En el lado izquierdo del colgador balanceado, hay 3 pesos iguales de valores desconocidos y 3 pesos de 2 unidades, y en el lado derecho hay un peso de 18 unidades.

En el lado izquierdo, hay 3 pesos de valores desconocidos más 6 unidades de peso. Podemos representar este colgador balanceado con una ecuación que se puede resolver de la misma forma que lo hicimos antes.

\(\begin {align} 3x+6&=18 \\ 3x&=12 \\ x&=4 \\ \end{align}\)

Balanced hanger. Left side, circle labeled x, square labeled 2, circle labeled x, square labeled 2, circle labeled x, square labeled 2. Right side, rectangle labeled 18.

Como hay 3 grupos de \(x+2\) en el lado izquierdo, podemos representar este colgador con una ecuación diferente: \(3(x+2)=18\).

Balanced hanger, three groups are indicated, each group contains 1 circle labeled x and 1 square labeled 2. Right side, rectangle labeled 18.  To the side, an equation 3 ( x + 2 ) = 18.

Los dos lados del colgador se balancean con los siguientes pesos: 3 grupos de \(x+2\) unidades en un lado, y un peso de 18 unidades o 3 grupos de 6 unidades en el otro lado.

Balanced hanger. to the side, an equation.

El colgador seguirá balanceado con \(\frac13\) del peso de cada lado: \(\frac13 \boldcdot 3(x+2) = \frac13 \boldcdot 18\).

Balanced hanger, left side, 1 circle labeled x and 1 square labeled 2, right side, rectangle labeled 6.  To the side, an equation says x + 2 = 6.

Podemos quitar 2 unidades de peso de ambos lados y el colgador seguirá balanceado. Esto es lo mismo que restar 2 de ambos lados de la ecuación.

Balanced hanger.

Una ecuación para el nuevo colgador balanceado es \(x=4\). Esta resulta ser la solución de la ecuación original.

Balanced hanger, left side, circle labeled x, right side, rectangle labeled 4. To the side, an equation x = 4.

La siguiente es una manera concisa de escribir los pasos anteriores:

\(\begin{align} 3(x+2) &= 18 \\ x + 2 &= 6 & \text{después de multiplicar ambos lados por } \tfrac13 \\ x &= 4 & \text{después de restar 2 de ambos lados} \\ \end{align} \)