Lección 8
Razonemos sobre la resolución de ecuaciones (Parte 2)
Usemos colgadores para comprender dos maneras diferentes de resolver ecuaciones que tienen paréntesis.
8.1: Equivalente a 2(x+3)
Selecciona todas las expresiones equivalentes a \(2(x+3)\).
- \(2 \boldcdot (x+3) \)
- \((x + 3)2 \)
- \(2 \boldcdot x + 2 \boldcdot 3\)
- \(2 \boldcdot x + 3 \)
- \((2 \boldcdot x) + 3\)
- \((2 + x)3\)
8.2: Cualquiera de las dos
-
Explica por qué cada una de las ecuaciones podría representar el diagrama:
\(14=2(x+3)\) o \(14=2x+6\)
- Encuentra el peso de un círculo. Prepárate para explicar tu razonamiento.
8.3: Usemos colgadores para comprender cómo resolver ecuaciones, de nuevo
Estos son algunos colgadores balanceados. Cada figura está etiquetada con su peso.
![Four balanced hanger diagrams.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/gBmQDveKvD42swJEN7e71y9Z?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.6.Revision.Image.k8.10.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.6.Revision.Image.k8.10.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T142122Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=63ee93b3ba506b8fcb8f940e357ca02eb48345851b9625073f66af1080994fab)
Para cada diagrama:
- Asocia una de estas ecuaciones a cada colgador.
\(2(x+5)=16\)
\(3(y+200)=3\!,000\)
\(20.8=4(z+1.1)\)
\(\frac{20}{3}=2\left(w+\frac23\right)\)
- Explica cómo averiguar el peso de cada pieza que está etiquetada con una letra, razonando sobre el diagrama.
- Explica cómo averiguar el peso de cada pieza que está etiquetada con una letra, razonando sobre la ecuación.
Resumen
En el lado izquierdo del colgador balanceado, hay 3 pesos iguales de valores desconocidos y 3 pesos de 2 unidades, y en el lado derecho hay un peso de 18 unidades.
En el lado izquierdo, hay 3 pesos de valores desconocidos más 6 unidades de peso. Podemos representar este colgador balanceado con una ecuación que se puede resolver de la misma forma que lo hicimos antes.
\(\begin {align} 3x+6&=18 \\ 3x&=12 \\ x&=4 \\ \end{align}\)
![Balanced hanger. Left side, circle labeled x, square labeled 2, circle labeled x, square labeled 2, circle labeled x, square labeled 2. Right side, rectangle labeled 18.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/sSxHEZP3PCGkduHAzJQn5KXL?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.6.B8.Summary.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.6.B8.Summary.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T142122Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=be02fa0b0938c0039c70a6f33545bf903a65248aa72604ae2740922210915980)
Como hay 3 grupos de \(x+2\) en el lado izquierdo, podemos representar este colgador con una ecuación diferente: \(3(x+2)=18\).
![Balanced hanger, three groups are indicated, each group contains 1 circle labeled x and 1 square labeled 2. Right side, rectangle labeled 18. To the side, an equation 3 ( x + 2 ) = 18.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/A1yPjy8HgHHDHwt2d3LsLrR8?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.6.B8.Summary2.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.6.B8.Summary2.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T142122Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=3bd6a242ed28746ed1a529973b8783dd182805ccd4a2d4334c9f35f16a0d18bb)
Los dos lados del colgador se balancean con los siguientes pesos: 3 grupos de \(x+2\) unidades en un lado, y un peso de 18 unidades o 3 grupos de 6 unidades en el otro lado.
![Balanced hanger. to the side, an equation.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/jDpG2J4dZb1d7BDCdmPXHWnH?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.6.B8.Summary3.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.6.B8.Summary3.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T142122Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=228b492e0fe5c263f3660af51d04b9f5b306a64b6ad2c1333712b2ad66186e37)
El colgador seguirá balanceado con \(\frac13\) del peso de cada lado: \(\frac13 \boldcdot 3(x+2) = \frac13 \boldcdot 18\).
![Balanced hanger, left side, 1 circle labeled x and 1 square labeled 2, right side, rectangle labeled 6. To the side, an equation says x + 2 = 6.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/9gtQB2UasbLUsTZ7dJ41ranb?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.6.B8.Summaryzzz.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.6.B8.Summaryzzz.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T142122Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=9da429d8887405ce5d5ae88f46dadc5d1765b677dcb00fde077e604635d7c789)
Podemos quitar 2 unidades de peso de ambos lados y el colgador seguirá balanceado. Esto es lo mismo que restar 2 de ambos lados de la ecuación.
![Balanced hanger.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/HjE7PGhHSR86aug9FFvNFpvw?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.6.B8.Summaryyyy.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.6.B8.Summaryyyy.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T142122Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=daaf3f5fbb9a37010c844253ea981295ef50ed0f3217574a3282c8505789525b)
Una ecuación para el nuevo colgador balanceado es \(x=4\). Esta resulta ser la solución de la ecuación original.
![Balanced hanger, left side, circle labeled x, right side, rectangle labeled 4. To the side, an equation x = 4.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/7NffLYDYUXH9MNVhJBJRYTGY?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.6.B8.Summaryasdfwer.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.6.B8.Summaryasdfwer.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T142122Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=916e05cbbb4ce8922f235b56fc49b930086e9e9e7066d316e7fe289175f18b8f)
La siguiente es una manera concisa de escribir los pasos anteriores:
\(\begin{align} 3(x+2) &= 18 \\ x + 2 &= 6 & \text{después de multiplicar ambos lados por } \tfrac13 \\ x &= 4 & \text{después de restar 2 de ambos lados} \\ \end{align} \)