Lección 21

Números pares e impares

  • Exploremos números pares y números impares.

21.1: Conversación matemática: Pares e impares

Evalúa mentalmente.

\(64+88\)

\(65+89\)

\(14 \boldcdot 5\)

\(14\boldcdot 4\)

21.2: Siempre par, nunca impar

Estas son afirmaciones acerca de sumas y productos de números. Para cada afirmación:

  • Decide si siempre es verdadera, si es verdadera solo para algunos números pero no para otros o si nunca es verdadera.
  • Usa ejemplos para explicar tu razonamiento.
  1. Sumas:
    1. La suma de 2 números pares es par.
    2. La suma de un número par y un número impar es impar.
    3. La suma de 2 números impares es impar.
  2. Productos:
    1. El producto de 2 números pares es par.
    2. El producto de un número par y un número impar es impar.
    3. El producto de 2 números impares es impar.

21.3: Par + Impar = Impar

¿Cómo podemos saber que la suma de un número par y un número impar debe ser impar? Analiza esta demostración. Mientras lo haces, responde las preguntas.

Sea \(a\) un número par, \(b\) un número impar y \(s\) la suma \(a + b\).

  1. ¿Qué significa que un número es par?, ¿qué significa que es impar?

    Supongamos que \(s\) es par y busquemos una razón por la que esta suposición inicial no pueda ser verdadera. Como \(a\) y \(s\) son pares, podemos escribir cada uno como 2 veces un entero: \(a = 2k\) y \(s = 2m\) (donde \(k\) y \(m\) son números enteros).

  2. ¿Siempre se puede hacer esto? Para convencerte, escribe 4 números pares distintos e iguala cada uno a \(2k\). ¿Cuál es el valor de \(k\) en cada caso?

    Entonces, sabemos que \(a + b = s\) y \(2k + b = 2m\).

    Dividimos entre 2 a ambos lados de la segunda ecuación y obtenemos \(k + \frac{b}{2} = m\).

    Reescribimos esta ecuación y obtenemos \(\frac{b}{2} = m - k\).

    Como \(m\) y \(k\) son enteros, entonces \(\frac{b}{2}\) también debe ser un entero.

  3. ¿La diferencia entre 2 números enteros siempre es un número entero? Inventa 4 parejas de números enteros y resta los números que hay en cada pareja para convencerte de que su diferencia siempre es un número entero.

  4. ¿Qué nos dice la ecuación \(\frac{b}{2} = m - k\) acerca de \(\frac{b}{2}\)? ¿Qué significa esto acerca de \(b\)?

  5. Revisa la descripción original de \(b\). ¿Qué está mal con lo que acabamos de descubrir?

Cada paso de la demostración es correcto, así que lo único que puede ser incorrecto es nuestra suposición de que \(s\) es par. Por lo tanto, \(s\) debe ser impar.

Resumen