Lección 12

Volumen de prismas rectos

Estudiemos volúmenes de prismas.

12.1: Tres prismas con el mismo volumen

Los rectángulos A, B y C representan las bases de tres prismas.

Three rectangles, A, B, C. Rectangle A is 1 square by 3 squares. Rectangle B is 2 squares by 2 squares. Rectangle C is 6 squares by 2 squares.
  1. Si cada prisma tiene la misma altura, ¿cuál tendrá el mayor volumen y cuál tendrá el menor? Explica tu razonamiento.
  2. Si cada prisma tiene el mismo volumen, ¿cuál tendrá la mayor altura y cuál la menor? Explica tu razonamiento.

12.2: Calculemos el volumen con cubos

El profesor les entregará un papel que muestra una figura y algunos cubos encajables.

  1. Usen la cara de un cubo encajable como la unidad de área, ¿cuál es el área de la figura? Expliquen su razonamiento.
  2. Usen los cubos encajables para construir la figura en el papel. Añadan otra capa de cubos sobre la figura que construyeron. Describan este objeto de tres dimensiones.
  3. ¿Cuál es el volumen del objeto? Expliquen su razonamiento.

  4. En este momento el objeto tiene una altura de 2. Halla el volumen:

    1. Si el objeto tuviera una altura de 5

    2. Si el objeto tuviera una altura de 8.5

12.3: ¿Puedes calcular el volumen?

El profesor les entregará una colección de figuras tridimensionales.

  1. Determinen si cada figura es un prisma.
  2. Para cada prisma:
    1. Encuentren el área de la base del prisma.
    2. Encuentren la altura del prisma.
    3. Calculen el volumen del prisma.
  ¿Es un prisma? área de la base del prisma
(cm2)		 altura
(cm)		 volumen
(cm3) 
figura A        
figura B        
figura C        
figura D        
figura E        
figura F        


Imagina un cubo sólido grande hecho de 64 cubos encajables blancos. Alguien pinta con aerosol azul todas las 6 caras del cubo grande. Después de que la pintura se seca, se desarma el cubo grande en un pila de 64 cubos encajables.

  1. ¿Cuántos de esos 64 cubos encajables tienen exactamente 2 caras que son azules?
  2. ¿Cuáles son otros números posibles de caras azules que pueden tener los cubos ? ¿Cuántos hay de cada tipo?
  3. Intenta este problema nuevamente con cubos de mayor tamaño en los que se requieran más de 64 cubos encajables para construirlos. ¿Qué regularidades observas?

12.4: ¿Cuál es la altura del prisma?

Hay 4 prismas diferentes, todos con el mismo volumen. Así es cómo se ve la base de cada prisma:

Four polygons on a grid, A, B, C, D.
  1. Ordena los prismas del más pequeño al más alto. Explica tu razonamiento.

  2. Si el volumen de cada prisma es 60 unidades3, ¿cuál sería la altura de cada prisma?

  3. Si el volumen es distinto de 60 unidades3, ¿cuál podría ser la altura de cada prisma?
  4. Discute tu pensamiento con tu compañero. Si están en desacuerdo, trabajen para lograr un acuerdo.

Resumen

Cualquier sección transversal de un prisma que sea paralela a la base será idéntica a la base. Esto quiere decir que podemos hacer cortes al prisma para ayudarnos a encontrar su volumen. Por ejemplo, si tenemos un prisma rectangular que tiene 3 unidades de alto y tiene una base de 4 unidades por 5 unidades, se puede pensar en 3 capas, donde cada capa tiene \(4\boldcdot 5\) unidades cúbicas.

Two images. First, a prism made of cubes stacked 5 wide, 4 deep, 3 tall. Second, each of the layers of the prism is seperated to show 3 prisms 5 wide, 4 deep, 1 tall.

Lo que significa que el volumen del prisma rectangular original es \(3(4\boldcdot 5)\) unidades cúbicas.

¡Esto funciona para cualquier prisma! Si se tiene un prisma con altura de 3 cm que tiene una base de área 20 cm2, entonces su volumen es \(3\boldcdot 20\) cm3, independientemente de la forma de la base. En general, el volumen de un prisma con altura \(h\) y área \(B\) es:

\(\displaystyle V = B \boldcdot h\)

Por ejemplo, estos dos prismas tienen ambos un volumen de 100 cm3.

Two prisms. First prism has a triangular base with area 20 centimeters squared, and height 5 centimeters. Second prism has an irregular base with area 25 centimeters squared, and height 4 centimeters.

Entradas del glosario

  • sección transversal

    Una sección transversal es la nueva cara que ves cuando le haces un corte a una figura tridimensional.

    Por ejemplo, si tomas una pirámide rectangular y le haces un corte paralelo a la base, la sección transversal que obtienes es un rectángulo más pequeño.