Lección 16

Usemos el volumen y el área de superficie

Exploremos cosas que son proporcionales al volumen o al área de superficie.

16.1: Tú decides

En cada situación, decide si esta requiere que Noah calcule el área de superficie o el volumen. Explica tu razonamiento.

  1. Noah planea pintar la casa para pájaros que construyó, pero no está seguro de tener suficiente pintura.

  2. Noah planea usar una caja con una base trapezoidal para guardar plastilina, pero no está seguro de si toda la plastilina cabrá en la caja.

16.2: Módulo de un gimnasio de espuma

En una guardería, Kiran ve niños que suben a este módulo de un gimnasio de espuma.

A prism, all units inches. Base, an irregular polygon. Starting in the corner, go up 5, right 8, up 5, left 10, slope down and right 20, down 2, left 36 returns to starting place, prism height 20.

Kiran está pensando en construir un módulo como este para que su primo pequeño juegue en él.

  1. Todo el módulo está hecho de espuma suave para que los niños no se hagan daño. ¿Cuánta espuma necesitaría Kiran para construir este módulo?
  2. Todo el módulo está recubierto con vinilo para que sea fácil de limpiar. ¿Cuánto vinilo necesitaría Kiran para construir este módulo?

  3. La espuma cuesta 0.8¢ por cada in3. Esta es una tabla con una lista de los costos de las distintas cantidades de vinilo. ¿Cuál es el costo total de toda la espuma y el vinilo que se necesitan para este módulo?

    vinilo (in2) costo ($)
    75 0.45
    125 0.75

     



Cuando Kiran analiza el módulo de gimnasio con más detalle, se da cuenta de que en realidad tiene dos piezas separadas que están una junto a la otra.

The same foam play structure from the previous problem, but this time a line slices the prism into 2 pieces.
  1. ¿Cómo influye esto en la cantidad de espuma en el módulo de gimnasio?
  2. ¿Cómo influye esto en la cantidad de vinilo que recubre el módulo de gimnasio?

16.3: Llenemos el arenero

La guardería tiene dos areneros: ambos son prismas con bases en forma de hexágono. El arenero más pequeño tiene un área de base de 1,146 in2 y se llena con arena a una profundidad de 10 pulgadas.

  1. Se necesitaron 14 bolsas de arena para llenar el arenero más pequeño a esta profundidad. ¿Qué volumen de arena viene en una bolsa? (Redondea a la pulgada cúbica entera más cercana).
  2. El administrador de la guardería (que es también el padre de Andre) quiere agregar 3 pulgadas más a la profundidad de la arena en el arenero pequeño. ¿Cuántas bolsas de arena deberá comprar?  
  3. Él también quiere agregar 3 pulgadas más a la profundidad de la arena en el arenero grande. La base del arenero grande es una copia a escala de la base del arenero pequeño, con un factor de escala de 1.5. ¿Cuántas bolsas de arena deberá comprar para el arenero grande? 
  4. Una tienda de césped y jardín vende 6 bolsas de arena por \$19.50. ¿Cuánto gastará para comprar toda la arena nueva para ambos areneros?

Resumen

Supongamos que queremos construir una banca de hormigón como la que se muestra en esta foto. Si sabemos que la banca terminada tiene un volumen de 10 ft3 y un área de superficie de 44 ft2, podemos usar esta información para resolver problemas sobre la banca.

A concrete bench formed by two rectangular prism supports, each the same width as the rectangular prism bench seat.

Por ejemplo:

  • ¿Cuánto pesa la banca?
  • ¿Cuánto tiempo se necesitaría para limpiar toda la banca?
  • ¿Cuánto costarán los materiales para construir la banca y pintarla?

Para determinar cuánto pesa la banca, se puede usar su volumen, 10 ft3. El hormigón pesa alrededor de 150 libras por cada pie cúbico, así que esta banca pesa alrededor de 1,500 libras, porque \(10 \boldcdot 150 = 1,\!500\).

Para averiguar cuánto tiempo se necesita para limpiar la banca, se puede usar su área de superficie, 44 ft2. Si una persona tarda en limpiar una superficie alrededor de 2 segundos por cada pie cuadrado, entonces tardaría alrededor de 88 segundos en limpiar esta banca, porque \(44 \boldcdot 2 = 88\). Puede que tarde un poco menos de 88 segundos, ya que las superficies donde la banca está en contacto con el suelo no se deben limpiar.

¿Usarías el volumen o el área de superficie de la banca para calcular el costo del hormigón necesario para construir esta banca? ¿Qué usarías para calcular el costo de la pintura?

Entradas del glosario

  • área de superficie

    El área de superficie de un poliedro es el número de cuadrados unitarios necesarias para recubrir todas las caras del poliedro sin que queden espacios vacíos ni haya superposiciones.

    Por ejemplo, si las caras de un cubo tienen 9 cm2 de área cada una, entonces el área de superficie del cubo es \(6 \boldcdot 9\), es decir 54 cm2.

  • sección transversal

    Una sección transversal es la nueva cara que ves cuando le haces un corte a una figura tridimensional.

    Por ejemplo, si tomas una pirámide rectangular y le haces un corte paralelo a la base, la sección transversal que obtienes es un rectángulo más pequeño.