Lección 14

Área de superficie de prismas rectos

Estudiemos el área de superficie de prismas. 

14.1: Multifacético

Tu profesor les mostrará un prisma.

  1. ¿Cuáles son algunas cosas del objeto que podrían medir?
  2. ¿Qué unidades usarían para estas mediciones?

14.2: Demasiadas caras

Esta es una imagen del prisma de tu profesor:

A prism with height 11 inches.  The base of the prism is shaped like a plus sign assembled from 5 squares that are 2 inches on each side.

Tres estudiantes intentan calcular el área de superficie de este prisma.

  • Noah dice: "Esto es mucho trabajo. Tenemos que calcular el área de 14 caras diferentes y sumarlas".
  • Elena dice: "No es tan difícil. Todos los 12 rectángulos son copias idénticas, así que podemos calcular el área de uno de ellos, multiplicarla por 12 y luego sumarle las áreas de las 2 bases".
  • Andre dice: "Esperen, ¡veo otra manera! Imaginen que se desdobla el prisma en un desarrollo plano. Podemos usar 1 rectángulo grande en lugar de 12 pequeños".

  1. ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica tu razonamiento.

  2. ¿Qué tan grande es "el rectángulo grande" del que habla Andre? Explica o muestra tu razonamiento. Si tienes dificultades, considera dibujar un desarrollo plano para el prisma.
  3. ¿El método de Noah siempre funcionará para determinar el área de superficie de cualquier prisma?, ¿el método de Elena?, ¿el método de Andre? Prepárate para explicar tu razonamiento.

  4. ¿Cuál método prefieres? ¿Por qué?

14.3: Retomemos un prisma pentagonal

  1. Entre tú y tu compañero, elijan quién usará cada uno de estos dos métodos para determinar el área de superficie del prisma:

    • Sumar las áreas de todas las caras.
    • Usar el perímetro de la base.

  2. Usa el método que escogiste para calcular el área de superficie del prisma. Muestra tu razonamiento. Organízalo de manera que otros puedan entenderlo.

    A prism with a pentagon base, all lengths centimeters. The pentagon is a rectangle 5 tall by 7 wide, with a triangle 3 tall by 4 wide removed from the corner. The prism has height 8.

  3. Intercambia papeles con tu compañero y verifica su trabajo. Discutan sus razonamientos. Si están en desacuerdo, trabajen para llegar a un acuerdo.


A photo of a deck of playing cards stacked neatly.
A photo of a whole deck of playing cards, stacked, each one shifted slightly to the right of the one below.

En una baraja de cartas, cada carta mide 6 cm por 9 cm.

  1. Cuando está apilada, la baraja tiene 2 cm de alta, como se muestra el la primera foto. Encuentra el volumen de esta baraja de cartas.

  2. Luego, la pila de cartas se despliega en abanico, como se muestra en la segunda imagen. Ahora la distancia del punto extremo a la derecha en la carta inferior al punto extremo a la derecha en la carta superior es de 7 cm en lugar de 2 cm. Determina el volumen de la nueva pila.

Resumen

Para hallar el área de superficie de una figura tridimensional cuyas caras están compuestas por polígonos, podemos hallar el área de cada cara ¡y sumarlas!

Algunas veces hay maneras de simplificar nuestro trabajo. Por ejemplo, todas las caras de un cubo con lado de longitud \(s\) son iguales. Podemos hallar el área de una cara y multiplicarla por 6. Como el área de una cara de un cubo es \(s^2\), el área de superficie de un cubo es \(6s^2\). 

Podemos usar esta técnica para hacer más rápido el cálculo del área de superficie de cualquier figura que tenga caras que son iguales.

Para los prismas, hay otra manera. Podemos tratar el prisma como si tuviera tres partes: dos bases idénticas y un rectángulo grande que se ha pegado a lo largo de los bordes de las bases. El rectángulo tiene la misma altura que el prisma y su ancho es el perímetro de la base. Para hallar el área de superficie, sumamos el área de este rectángulo al área de las dos bases.

Entradas del glosario

  • área de superficie

    El área de superficie de un poliedro es el número de cuadrados unitarios necesarias para recubrir todas las caras del poliedro sin que queden espacios vacíos ni haya superposiciones.

    Por ejemplo, si las caras de un cubo tienen 9 cm2 de área cada una, entonces el área de superficie del cubo es \(6 \boldcdot 9\), es decir 54 cm2.

  • sección transversal

    Una sección transversal es la nueva cara que ves cuando le haces un corte a una figura tridimensional.

    Por ejemplo, si tomas una pirámide rectangular y le haces un corte paralelo a la base, la sección transversal que obtienes es un rectángulo más pequeño.