Lección 5
Usemos ecuaciones para encontrar ángulos desconocidos
Encontremos ángulos desconocidos usando ecuaciones.
5.1: ¿Es suficiente?
Tyler piensa que en esta figura hay suficiente información para descifrar los valores de \(a\) y \(b\).
![Two rays on the same side of line l meet at the same point to form 3 angles, a, 90 degrees, b.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/pNrdySXz8R5JA8dWCUfGqVgm?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.7.5.Revision.Image.10.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.7.5.Revision.Image.10.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T141817Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=1e153466c99a08db12a3c5140babd44e1679cf30343ea76806bece829444a046)
¿Estás de acuerdo? Explica tu razonamiento.
5.2: ¿A qué se parece?
Elena y Diego escribieron cada uno ecuaciones para representar estos diagramas. Para cada diagrama, decide con cuál ecuación estás de acuerdo y resuélvela. Puedes suponer que los ángulos que parecen ángulos rectos en efecto son ángulos rectos.
-
Elena: \(x = 35\)
Diego: \(x+35=180\)
-
Elena: \(35+w+41=180\)
Diego: \(w+35=180\)
-
Elena: \(w + 35 = 90\)
Diego: \(2w+35=90\)
-
Elena: \(2w + 35 = 90\)
Diego: \(w+35=90\)
-
Elena: \(w + 148 = 180\)
Diego: \(x+90=148\)
5.3: Calculemos la medida
Encuentra las medidas de los ángulos desconocidos. Muestra tu razonamiento. Organízalo de tal forma que otras personas lo puedan entender.
![Two lines meet to form 4 angles. One set of adjacent angles is labeled w degrees, 124 degrees.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/EU2Pt58ADDD7qikNjj55ZZwL?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.7.5.Image.Revision.06.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.7.5.Image.Revision.06.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T141817Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=e68f6fa7637119444a75444ce3d181073e0bafcf9a5196d0a2583f095320cc8c)
![Two rays on the same side of line l meet at point Q to form 3 angles, 52 degrees, b degrees, 23 degrees.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/TELv8RYV1sChDuxtcjQJx5sB?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.7.5.Image.Revision.07.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.7.5.Image.Revision.07.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T141817Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=4fbffe8b5c008c0ff06d9f348ae7d14cff7ea83cf2e464afa46c945835a03766)
Las líneas \(\ell\) y \(m\) son perpendiculares.
![](https://cms-im.s3.amazonaws.com/7ZBZsWa1CzVfYQcmoeC14UrP?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.7.5.Image.Revision.12.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.7.5.Image.Revision.12.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T141817Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=dba21c3b0375623e9057f1bfeb5d27464555d486775466d20e2462151a75b614)
![Two lines form vertical angles, one is labeled 120 degrees, the other is split by rays into three angles labeled m degrees, 66 degrees, m degrees.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/Yx35C6gCzEPDLJzo5KcXYbEg?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.7.5.Image.Revision.13.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.7.5.Image.Revision.13.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T141817Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=ab395706e55d400df514351d97cc1dacd9795c6645cddc8e49234b1e8fef7ea7)
El diagrama tiene tres cuadrados. Se han dibujado tres rectas adicionales que unen las esquinas de los cuadrados. Queremos encontrar el valor exacto de \(a+b+c\).
![The diagram contains 3 squares. Segments connect the bottom left corner of the diagram to the top right corners the squares. Please ask for additional assistance.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/oJ5FjzgTd8MepTozorRjfySE?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.7.ext.3squares.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.7.ext.3squares.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T141817Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=31fd20a0b48e2387e4806d690f2f6b3fbd8931b655e35c551ba7873265437ec8)
- Usa un transportador para medir los tres ángulos. Usa tus mediciones para estimar el valor de \(a+b+c\).
- Encuentra el valor exacto de \(a+b+c\) razonando acerca del diagrama.
Resumen
Para encontrar una medida desconocida de un ángulo, algunas veces es útil escribir y resolver una ecuación que representa la situación. Por ejemplo, supongamos que queremos saber el valor de \(x\) en este diagrama.
![Two lines meet to form 4 angles. An angle is labeled 144 degrees. It's vertical angle is split into 4 smaller angles, x degrees, x degrees, x degrees, 90 degrees.](https://cms-im.s3.amazonaws.com/TWHvTdZw9eidoPTTFUHS57CS?response-content-disposition=inline%3B%20filename%3D%227-7.7.5.SLS.xand144.png%22%3B%20filename%2A%3DUTF-8%27%277-7.7.5.SLS.xand144.png&response-content-type=image%2Fpng&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Credential=AKIAXQCCIHWF3XOEFOW4%2F20240630%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Date=20240630T141817Z&X-Amz-Expires=604800&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Signature=949a598ddfbbae79a0f2db2fa079bd894e766fcdc185af9c9c2ff3352abae656)
Usando lo que sabemos sobre ángulos opuestos por el vértice, podemos escribir la ecuación \(3x + 90 = 144\) para representar esta situación. Luego podemos resolver la ecuación.
\(\begin{align} 3x + 90 &= 144 \\ 3x + 90 - 90 &= 144 - 90 \\ 3x &= 54 \\ 3x \boldcdot \frac13 &= 54 \boldcdot \frac13 \\ x &= 18 \end{align}\)
Entradas del glosario
- ángulo llano
Un ángulo llano es un ángulo que forma una línea recta. Su medida es 180 grados.
- ángulo recto
Un ángulo recto es la mitad de un ángulo llano. Su medida es 90 grados.
- ángulos adyacentes
Los ángulos adyacentes comparten un lado y un vértice.
En este diagrama, el ángulo \(ABC\) es adyacente al ángulo \(DBC\).
- ángulos opuestos
Los ángulos opuestos se forman cuando dos rectas se intersecan. Comparten un vértice y están uno frente al otro. Su medida es la misma.
Por ejemplo, los ángulos \(AEC\) y \(DEB\) son ángulos opuestos. Si el ángulo \(AEC\) mide \(120^\circ\), entonces el ángulo \(DEB\) debe medir también \(120^\circ\).
Los ángulos \(AED\) y \(BEC\) forman otro par de ángulos opuestos.
- complementarios
Dos ángulos son complementarios si sus medidas suman 90 grados.
Por ejemplo, un ángulo de \(15^\circ\) y un ángulo de \(75^\circ\) son complementarios.
- suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si sus medidas suman 180 grados.
Por ejemplo, un ángulo de \(15^\circ\) y un ángulo de \(165^\circ\) son suplementarios.